《2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第5课时 利用导数探究函数的零点问题练习 理 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第5课时 利用导数探究函数的零点问题练习 理 北师大版（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5课时 利用导数探究函数的零点问题 基础题组练1(2020江西赣州模拟)若函数f(x)aexx2a有两个零点，则实数a的取值范围是()A.BC. D解析：选D.函数f(x)aexx2a的导函数f(x)aex1.当a0时，f(x)0恒成立，函数f(x)在R上是减少的，不可能有两个零点；当a0时，令f(x)0，得xln，函数f(x)在上是减少的，在上是增加的，所以f(x)的最小值为f1ln2a1ln a2a.令g(a)1ln a2a(a0)，则g(a)2.当a时，g(a)是增加的；当a时，g(a)是减少的，所以g(a)maxgln 20，所以f(x)的最小值为f0，f(x)是增加的，当x(3，)
2、时，f(x)0恒成立，所以f(x)的增区间为(，)，无减区间；当a0时，令f(x)0，得x0，得xln a，所以f(x)的减区间为(，ln a)，增区间为(ln a，)(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考虑f(x)在区间0，1上的零点个数，当a1时，f(x)在(0，)上是增加的且f(0)0，所以f(x)在0，1上有一个零点；当ae时，f(x)在(，1)上是减少的，所以f(x)在0，1上有一个零点；当1ae时，f(x)在(0，ln a)上是减少的，在(ln a，1)上是增加的，而f(1)ea1，当ea10，即1ae1时，f(x)在0，1上有两个零点，当ea10，即e1ae1或a2(1)时，
3、g(x)在0，1上有两个零点；当10，f(x)在(，)上是增加的当b0时，若xln(b)，则f(x)0，f(x)在ln(b)，)上是增加的；若xln(b)，则f(x)0，f(x)在(，ln(b)上是减少的(2)令g(x)exbx1ln x，则g(x)exb，易知g(x)是增加的且一定有大于0的零点，设g(x)大于0的零点为x0，则g(x0)0，即ex0b0，bex0.方程f(x)ln x有两个实数根，即g(x)有两个零点，则需满足g(x0)0， 即e x0bx01ln x0ex0x01ln x0e x0e x0x0ln x00)，则h(x)exx0，所以h(x)在(0，)上是减少的，又h(1)
4、0，所以ex0e x0x0ln x00的解集为(1，)，所以be x01e.当bxbxln x，有g(eb)ebbebln eb(b1)ebb，令G(x)(x1)exx(x1)(ex1)1，x1e，所以x12e0，0ex0，所以g(eb)0，故g(eb)g(x0)0，g(x)在(x0，)上有唯一零点综上，b的取值范围是(，1e)6(2020江西八所重点中学联考)已知函数f(x)axa1(其中a为常数，且aR)(1)若函数f(x)为减函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围，并说明理由解：(1)因为f(x)axa1，所以f(x)a，若函数f(x)为减函数
5、，则f(x)0对x(0，)恒成立，即a对x(0，)恒成立设m(x)，则m(x)，令m(x)0，得xe，可得m(x)在区间(0，e)上是减少的，在区间(e，)上是增加的，所以m(x)minm(e)，所以a，即ae3，故实数a的取值范围是(，e3(2)易知函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)，所以可设h(x)ax2(a1)xln x，则函数f(x)有两个不同的零点等价于函数h(x)有两个不同的零点因为h(x)ax(a1)，所以当a0时，函数h(x)在区间(0，1)上是减少的，在区间(1，)上是增加的，所以h(x)在(0，)上有最小值为h(1)若函数h(x)有两个不同的零点，则必有h(1)a12，此时，在x(1，)上有h(2)2a2(a1)ln 22ln 20，在x(0，1)上，h(x)a(x22x)xln x，因为1x22xaxln x，所以h(ea)aea aln(ea)ea 0，所以h(x)在区间(0，1)，(1，)上各有一个零点，故a2符合题意当a1时，h(x)0，所以函数h(x)在区间(0，)上是减少的，所以函数h(x)至多有一个零点，不符合题意当1a0，所以函数h(x)至多有一个零点，不符合题意；当a0，所以函数h(x)至多有一个零点，不符合题意综上所述，实数a的取值范围是(2，)1
