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1、平面向量1.向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 （注意：向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小)零向量：长度为的向量，记为,其方向是任意的，与任意向量平行,零向量|=0(注意:由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量,故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清晰与否有“非零向量”这个条件，且注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量 （向量为单位向量=）平行向量(共线向量):方向相似或相反的非零向量，称为平行向量,记作；由于向量可以进行任意的平移（即自由向量),平行向量总可以平移到同始终线上,故平行向量也称为共线向量（注意：数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以
2、任意选用,目前必须辨别清晰共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不同样的)相等向量:长度相等且方向相似的向量.相等向量通过平移后总可以重叠，记为大小相等,方向相似注意：(）相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件（2)向量平行与直线平行有区别，直线平行不涉及共线（即重叠）,而向量平行则涉及共线(重叠）的状况(3)向量的坐标与表达该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关题型1、基本概念判断正误：例1：下列说法对的的是(）.向量与向量BA的长度相等B两个有共同起点长度相等的向量的终点相似C.零向量没有方向
3、D.任意两个单位向量都相等例2：判断下列命题与否对的，并阐明理由(1）若向量a与b同向，且|a|b|,则b；(2)若向量a|b|，则a与的长度相等且方向相似或相反；(3)对于任意|b|,且与b的方向相似,则a=b；（4)向量a与向量b平行,则向量a与b方向相似或相反练1：判断(1）共线向量就是在同一条直线上的向量;（）若两个向量不相等，则它们的终点不也许是同一点;()与已知向量共线的单位向量是唯一的；()四边形ABCD是平行四边形的条件是;（5）若,则A、B、四点构成平行四边形；（6）由于向量就是有向线段，因此数轴是向量；()若与共线， 与共线，则与共线;(）若,则;（)若，则；（10)若与不
4、共线,则与都不是零向量；(11)若，则;(12)若,则.2向量加法和减法求两个向量和(差）的运算叫做向量的加(减）法运算类型几何措施坐标措施运算性质向量的加法平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则注意：(1）用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重叠的那条对角线，而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量（) 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一种向量的起点指向最后一种向量的终点的有向线段就表达这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法
5、则可推广至多种向量相加：，但这时必须“首尾相连”.(）相反向量：与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量.记作,零向量的相反向量仍是零向量有关相反向量有： （i）=; (ii)()=（)+;(4）若、是互为相反向量，则,=,=（5)作图法:可以表达为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）（）的应用题型2、向量的加减运算例:如图,在ABC中，O为重心，D,分别是BC，AC,A的中点,化简下列三式：（);（2)；(3）;例2:如下图，解答下列各题：（1)用a，d，表达;()用b，表达;（)用，b，表达;（4）用d,c表达.例：（1)已知向量a、的模分别是|a，=6,求a|的最大值和最小值.（2
6、）已知，,求的取值范畴练1：在平行四边形ABCD中,，,若,若，的值.练2:若,则的取值范畴是 3.实数与向量的积:运算类型几何措施坐标措施运算性质向量的乘法是一种向量,满足:0时,与同向;0时,与异向;=0时, 两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一种实数，使得=题型3、向量的数乘运算例1：已知,R，且a0,则在如下各命题中，对的命题的个数为（ )0时,a与a的方向一定相似;0时,a与是共线向量；0时,a与的方向一定相似;时,与a的方向一定相反；.2 B.3 C.4 D.例:已知非零向量e1，e2不共线.(1)若=e1+e,2e+8e2，=3(e1-e2),求证:,B，D三点共线;(
7、2)欲使ke1+e和e1+e2共线,试拟定实数的值.练:计算:（1) （2)练:已知，则 练:已知a,b是两个非零向量,判断下列各命题的真假,并阐明理由(1）5a的方向与的方向相似,且5的模是a的模的倍;(2）-4a的方向与8a的方向相反,且4a的模是a的模的;（3)12a与1a是一对相反向量；(4)ab与(ba)是一对相反向量.练4:已知任意两个非零向量a、，试作=+,a+b，=+3b.你能判断A、C三点之间的位置关系吗?为什么？4.向量的坐标运算1.平面向量的坐标表达：在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相似的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任历来量可表达到，由于与
8、数对(x,)是一一相应的,因此把(x,）叫做向量的坐标,记作（x,y）,其中x叫作在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标注意:()相等的向量坐标相似,坐标相似的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表达该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=（x,y),则=（x,)(4) 若,则(5) 若,则若,则题型4、向量的坐标运算例1：(1）已知三点(2,-1）,B（3，4），（-，），则向量 ， ；（2）已知向量a,b的坐标分别是(-1,2)，(3，-）,求a+，a-b，2a+3b的坐标.例2:已知三点A（2，3)，B(，)
9、，C(7，10),点满足.为什么值时,点P在直线上；设点P在第三象限,求的取值范畴.练1：已知，,，则 练：已知，,求，.练3:(1)已知,向量与相等，求的值.(2）已知是坐标原点,，且,求的坐标.5.基底:如果是一种平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任历来量，有且只有一对实数使：,其中不共线的向量叫做表达这一平面内所有向量的一组基底题型、判断两个向量能否作为一组基底（两向量是非零向量两向量不共线）例1：已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量与否能构成一组基底:A. B. . D.练1:已知，能与构成基底的是( )A. B. C D.题型6、结合三角函数求向量坐标例1:已知是坐标原点
10、,点在第二象限，求的坐标.练:已知是原点，点在第一象限，求的坐标.6向量的数量积：已知两个非零向量与,它们的夹角为,则=c叫做与的数量积(或内积） 规定向量的投影：cosR,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影数量积的几何意义:等于的长度与在方向上的投影的乘积向量的模与平方的关系：乘法公式成立： ；平面向量数量积的运算律：（1）互换律成立：（2）对实数的结合律成立:(3)分派律成立:注意:()结合律不成立:；（2)消去律不成立不能得到(3)0不能得到或两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量,则=向量的夹角：已知两个非零向量与，作, =,则AB= (）叫做向量与的夹角co当且仅当两个非零
11、向量与同方向时，=，当且仅当与反方向时=800，同步与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题垂直:如果与的夹角为90则称与垂直，记作两个非零向量垂直的充要条件：=.平面向量数量积的性质题型7、求数量积例:已知，且与的夹角为，求(),(2），(3），（4）.练:已知,求（1)，（2)，(3),（4）.题型8、求向量的夹角例1：（）已知向量，满足，且,则与的夹角为 .()已知非零向量,满足与互相垂直,与互相垂直,求与的夹角例：已知与夹角为45,则使与的夹角为锐角时,的取值范畴是 .例3：已知,且,若对两个不同步为零的实数k、t,使得与垂直,试求k的最小值.练1:已知两向量与满足，,且,则与的夹角为
12、.练2：已知,向量a与b的夹角为,p3ab，q=a17b，则系数_时，p与q垂直.练3：（1)已知，求与的夹角.(2）已知,，求.题型9、求单位向量 【与平行的单位向量:】例1：与平行的单位向量是 。练1:与平行的单位向量是 。题型0、向量的平行与垂直例1:已知，,当为什么值时，（1)？（2)?练1：已知,（）为什么值时,向量与垂直？(2)为什么值时,向量与平行？题型11、向量在几何中的应用例1：等腰直角三角形BC中,CB,是应的中点,E是AB上的点，且ABE,求证:CE例2:已知在等腰AB中,B、CC是两腰上的中线,且BC,求顶角A的余弦值.例3:已知设(1）若为斜边AB的中点,求证:;(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交C于F，求AF的长度(用,n表达)练1:如图所示,若是BC内的一点，且AB2-AC2B-D,求证：ADC练2：正方形OABC的边长为，点D、E分别为A、C的中点,试求cosDO.
