高等代数最重要的基本概念归纳

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1、 第一章 基本概念1.5 数环和数域定义1 设S是复数集C的一个非空子集,如果对于S中任意两个数a、b来说，a+b,a-b,ab都在S内，那么称S是一个数环。定义2 设F是一个数环。如果 （i）F是一个不等于零的数； （ii）如果a、bF,，并且b，那么就称F是一个数域。定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。第二章 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算定义1 数环R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ， 是非负整数而都是R中的数。 项式中，叫作零次项或常数项，叫作一次项，一般，叫作i次项的系数。 定义2 若是数环R上两个一元多项式和有完全相同的项，或者只差一些系数

2、为零的项，那么就说和就说是相等定义3 叫作多项式，的最高次项，非负整数n叫作多项式，的次数。定理2.1.1 设和是数环R上两个多项式，并且，那么 当时，。多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1） 加法交换律：；2） 加法结合律：；3）乘法交换律：；4） 乘法结合律：；5） 乘法对加法的分配律：。推论2.1.1 当且仅当和中至少有一个是零多项式推论2.1.2 若，且，那么2.2 多项式的整除性设F是一个数域。是F上一元多项式环定义 令和是数域F上多项式环的两个多项式。如果存在的多项式，使，我们说，整除（能除尽）。多项式整除的一些基本性质：1） 如果，那么2） 如果，那么3） 如果，那么对于中的任

3、意多项式来说，4） 果那么对于中任意5） 次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任意多项式。6） 每一个多项式都能被整除，这里c是F中任意一个不等于零的数。7） 如果，那么，这里c是F中的一个不等于零的数设，是两个任意的多项式，并且。那么可以写成以下形式，这里，或者的次数小于的次数。定理2.2.1 设和是的任意两个多项式，并且。那么在中可以找到多项式和，使 （3） 这里或者，或者的次数小于的次数，满足以上条件的多项式只有一对。设数域含有数域而和是的两个多项式，如果在里不能整除，那么在里也不能整除。1） 定义1 假定是和的任一公因式，那么由 中的第一个等式，也一定能整除。同理，由第二个等式，也一

4、定能整除。如此逐步推下去，最后得出能整除，这样，的确是和的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。定义2 设以除时，所得的商及余式，比较两端同次幂的系数得，这种计算可以排成以下格式 用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。2.3 多项式的最大公因式设F是一个数域。是F上一元多项式环定义1 令设和是的任意两个多项式，若是的一个多项式同时整除和，那么叫作与的一个公因式。定义2 设是多项式与的一个公因式。若是能被与的每一个公因式整除，那么叫作与的一个最大公因式。定理2.3.1的任意两个多项式与一定有最大公因式。除一个零次因式外，与的最大公因式是唯一确定的，这就说，若是与的一个最大公

5、因式，那么数域F的任何一个不为零的数c与的乘积c 也是与的一个最大公因式；而且当与不完全为零时，只有这样的乘积才是与的最大公因式。从数域F过度渡到数域时，与的最大公因式本质上没有改变。定理2.3.2 若是的多项式与的最大公因式，那么在里可以求得多项式，使以下等式成立： （2）。注意：定理2.3.2的逆命题不成立。例如，令，那么以下等式成立：但显然不是与的最大公因。定义3 如果的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这两个多项式互素。定理2.3.3 的两个多项式与互素的充要条件是：在中可以求得多项式，使（4） 从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：若多项式与都与多项

6、式互素，那么乘积也与互素。若多项式整除多项式与的乘积，而与互素，那么一定整除。2） 若多项式与都整除多项式，而与互素，那么乘积也整除最大公因式的定义可以推广到个多项式的情形：若是多项式整除多多项式中的每一个，那么叫作这n个多项式的一个公因式。若是的公因式能被这n个多项式的每一个公因式整除，那么叫作的一个最大公因式。 若是多项式的一个最大公因式，那么是多项式的最大公因式也是多项式的最大公因式。若多项式除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多项式互素。2.4 多项式的分解定义1 的任何一个多项式，那么F的任何不为零的元素c都是的因式，另一方面，c与的乘积c也总是的因式。我们把这样的因式叫作

7、它的平凡因式，定义2 令是的一个次数大于零的多项式。若是在只有平凡因式，说是在数域F上（或在中）不可约。若除平凡因式外，在中还有其他因式，就说是在F上（或在中）可约。 如果的一个n（n0）次多项式能够分解成中两个次数小于n的多项式的乘积：（1） ，那么在F上可约。 若是在中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么在F上不可约。 不可约多项式的一些重要性质：1） 如果多项式不可约，那么F中任一不为零的元素c与的乘积c也不可约。2） 设是一个不可约多项式而是一个任意多项式，那么或者与互素，或者整除。3） 如果多项式与的乘积能被不可约多项式整除，那么至少有一个因式被 整除。4） 如果多项式

8、的乘积能被不可约多项式整除，那么至少有一个因式被整除。定理2.4.1的每一个n(n0)次多项式都可以分解成的不可约多项式的乘积。定理2.4.2 令是的一个次数大于零的多项式，并且 此处与都是的不可约多项式，那么，并且适当调换的次序后可使此处是F上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的。形如的多项式叫作多项的典型分解式，每一个典型分解式都是唯一确定的。2.5 重因式定义 的多项式的导数或一阶导数指的是的多项式 一阶导数的导数叫作的二阶导数，记作，的导数叫作的三阶导数，记作，等等。的k阶导数也记作。 关于和与积的导数公式仍然成立：（1） （2）

9、 （3） 定理2.5.1 设是多项式的一个重因式。那么是的导数的一个k-1重因式。定理2.5.2 多项式没有重因式的充要条件是与它的导数互素。2.6 多项式函数 多项式的根 设给定了1R的一个多项式和一个数cR,那么在的表示式里，把用c来代替，就得到R的一个数这个数叫作当时，的值，并且用来表示。对于R上的每一个数c，就有R中唯一确定的数与它对应。就得到R与R的一个影射。这个影射是由多项式所确定的，叫作R上的一个多项式函数。定理2.6.1 设，用除所得的余式等于当时的值定义 令是的一个多项式而c是R中的一个数，若是当时的值，那么c叫作在数环R中的一个根。定理2.6.2 数c是的根的充要条件是能被

10、整除。定理2.6.3 设是中一个次多项式。那么在R中至多有n个不同的根。定理2.6.4 设是的两个多项式，它们的次数都不大于n。若是以R中n+1个或更多不同的数来代替时，每次所得的值都相等，那么。定理2.6.5的两个多项式相等，当且仅当她们所定义的R上多项式函数相等。这个公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。2.7 复数和实数域上多项式定理2.7.1 （代数基本定理） 任何次多项式在复数域中至少有一个根。定理2.7.2 任何次多项式在复数域中有n个根（按重根重数计算）。复数域C上任一次多项式可以在里分解为一次因式的乘积。负数域上任一次大于1的多项式都是可约的。定理2.7.6 若实数多项

11、式有一个非实的复数根，那么的共轭数也是的根，并且有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的非实的复数根两两成对。定理2.7.4 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只含非实共轭复数根的二次多项式。定理2.7.5 每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积。2.8 有理数域上多项式 令是整数环Z上的一个次多项式。如果存在，它们的次数都小于n，使得， （1）那么自然可以看成有理数域Q上的多项式。等式（1）表明，在中是可约的。定义 若是一个整系数多项式的系数互素，那么叫作一个原本多项式。引理2.8.1 两个原本多项式的乘积仍然是一个原本多项式。定理2.8.1 若是

12、一个整系数次多项式在有理数域上可约，那么总可以分解成次数都小于n的两个整系数多项式的乘积。定理2.8.2 （艾森斯坦（Eisenstein）判别法）设是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p，使得（i）最高次项系数不能被p整除；（ii）其余各项都能被p整除；（iii）常数项不能被整除，那么多项式在有理数域上不可约。有理数域上任意次的不可约多项式都存在。定理2.8.3 设是一个整系数多项式。若是有理数是 的一个根，这里和是互素的整数，那么 （i）整除的最高次项系数，而整除的常数项； （ii），这里是一个整系数多项式。2.9 多元多项式在这一节里，R总表示一个数环，且令是n个文字，形如的表示式。

13、其中是非负整数，叫作R上的一个单项式。数a叫作这个单项式的系数，如果某一，那么可以不写，约定。因此，个文字的单项式总可以看成n个文字的单项式。特别，当时，我们有。形式表达式，是非负整数，叫作R上n个文字的一个多项式，或简称R上一个n元多项式。 我们通常用符号，等来表示R上n个文字的多项式。定理2.9.1 数环R上的两个n元多项式与的乘积是首项等于这两个多项式首项的乘积。特别，两个非零多项式的乘积也不等于零。定理2.9.2 数环R上两个不等于零的n元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和。定理2.9.3 设是数环R上的一个n元多项式，如果对于任意都有，那么推论2.9.1 设与是数环R上n元多

14、项式，如果对于任意都有，那么换句话说，如果由与确定的多项式函数相等，那么这两个多项式相等。2.10 对称多项式定义1 设是数环R上的一个n元多项式，如果对于这n个文字的指标集施行任意一个置换后，都不改变，那么就称是R上一个n元对称多项式。定义2 （1），这里表示 中k个所作的一切可能乘积的和，这样的n个多项式显然都是n元对称多项式。我们称这n个多项式为n元对等对称多项式。引理2.10.1 设是数环R上一个n元对称多项式，以代替，得到关于的一个多项式。如果，那么一切系数，即定理2.10.1 数环R上一n元对称多项式都可以表示成初等对称多项式的系数在R中的多项式，并且这种表示法是唯一的。推论2.10.1 设是数域F上的一个一元n次多项式，它的最高次项系数是1。令是是复数域内的全部根（按重根重数计算）。那么的每一个系数取自F的对称多项式都是的系数的多项式（它的系数在F内）因而是F的一个数。第三章 行列式3.2 排列定义1 n个数码1，2，n的一个排列指的是由这n个数码组成的一个有序组，叫做数码的排列。定义2 一般的在一个排列里，如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序，在一个排列里出现的反序总数的总和叫做这个排列的反序数（逆序数）。一个排列的逆序数可能