动量守恒定律【学习目标】1. 能用牛顿运动定律推导动量守恒定律；2. 知道动量守恒定律的适用条件和适用范围；3. 进一步理解动量守恒定律，知道定律的适用条件和适用范围，会用动量守恒定律解释现象、解 决问题．【要点梳理】要点一、动量守恒定律1．系统 内力和外力在物理学中，把几个有相互作用的物体合称为系统，系统内物体间的相互作用力叫做内力，系统 以外的物体对系统的作用力叫做外力．2．动量守恒定律（1）内容： 如果一个系统不受外力或者所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变．（2）动量守恒定律的数学表达式：① p = p'.即系统相互作用前的总动量 p 和相互作用后的总动量 p ＇大小相等，方向相同．系统总动量的求法遵循矢量运算法则．② A p = p / —p = 0 .即系统总动量的增量为零．③ Api 二—Ap2 •即将相互作用的系统内的物体分为两部分，其中一部分动量的增加量等于另一部分动量的减少量．④ 当相互作用前后系统内各物体的动量都在同一直线上时，动量守恒定律可表示为代数式：m v + m v = m v ' + m v .1 1 2 2 1 1 2 2应用此式时，应先选定正方向，将式中各矢量转化为代数量，用正、负号表示各自的方向．式中[v2为初始时刻的瞬时速度，v,、v2‘为末时刻的瞬时速度，且它们一般均以地球为参照物.（3）动量守恒定律成立的条件：① 系统不受外力作用时，系统动量守恒；② 若系统所受外力之和为零，则系统动量守恒；③ 系统所受合外力虽然不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象中，系统的动 量可看成近似守恒；④ 系统总的来看不符合以上三条中的任意一条，则系统的总动量不守恒•但是，若系统在某一方 向上符合以上三条中的某一条，则系统在该方向上动量守恒．要点诠释：为了方便理解和记忆，我们把以上四个条件简单概括为：①②为理想条件，③为近似 条件，④为单方向的动量守恒条件.3．动量守恒定律的适用范围它是自然界最普遍、最基本的规律之一．不仅适用于宏观、低速领域，而且适用于微观、高速领 域．小到微观粒子，大到天体，无论内力是什么性质的力，只要满足守恒条件，动量守恒定律总是适 用的．4．运用动量守恒定律解题的基本步骤和方法（1）分析题意，确定研究对象．在选择研究对象时，应将运动过程的分析与系统的选择统一考虑． 动量守恒定律的研究对象是系统，为了满足守恒条件，系统的划分非常重要，往往通过适当变换 划入系统的物体，可以找到满足守恒条件的系统．（2）对系统内物体进行受力分析，分清内力、外力，判断所划定的系统在其过程中是否满足动量 守恒的条件，若满足则进行下一步列式，否则需考虑修改系统的划定范围（增减某些物体）或改变过 程的起点或终点，再看能否满足动量守恒条件，若始终无法满足动量守恒条件，则应考虑采取其他方 法求解．（3）明确所研究的相互作用过程的始、末状态，规定正方向，确定始、末状态的动量值表达式．（4）根据题意，选取恰当的动量守恒定律的表达形式，列出方程．（5）合理进行运算，得出最后的结果，并对结果进行讨论，如求出其速度为负值，说明该物体的 运动方向与规定的正方向相反．要点二、与动量守恒定律有关的问题1．由牛顿定律导出动量守恒定律的表达式以两球碰撞为例：光滑水平面上有两个质量分别是mi和m的小球，分别以速度vi和v2（ vi ＞叮做匀速直线运动。
当mi追上m时，两小球发生碰撞,设碰后二者的速度分别为分v ' 2V.m设水平向右为正方向，它们在发生相互作用（碰撞）前的总动量：P - * +匚-miVi + m27，在发生相互作用后两球的总动量：p'-佇+与-mivi+mv2设碰撞过程中两球相互作用力分别是F和F，力的作用时间是At 12根据牛顿第二定律，碰撞过程中两球的加速度分别为Fa =—^， a1 m 21根据牛顿第三定律，F、F大小相等，方向相反，即F =-F1 2 1 2所以 ma = -ma1 1 2 2碰撞时两球之间力的作用时间很短，用At表示，这样加速度与碰撞前后速度的关系就是v' - va =—i i，1 Atv' - v2 2At代入m a =-m a1 1 2 2整理后可得m v' + m v' = m v + m v1 1 2 2 1 1 2 2或写成P+P=P + P1 2 1 2即 P'二 P这表明两球碰撞前后系统的总动量是相等的 要点诠释：这就是动量守恒定律的表达式．本题需要一段推导、论证的过程，要求学生学会论证 表达严密的推导过程，这是高考的新动向，要加强这方面的训练．2．对动量守恒定律的理解（1）研究对象：牛顿第二定律、动量定理的研究对象一般为单个物体，而动量守恒定律的研究对 象则为两个或两个以上相互作用的物体所组成的系统．（2）研究过程：动量守恒是对研究系统的某过程而言（如内力远远大于外力），所以研究这类问 题时要特别注意分析哪一阶段是守恒阶段．（3） 动量守恒的条件是系统不受外力或所受的合外力是零，这就意味着一旦系统所受的合外力不 为零，系统的总动量将发生变化．所以，合外力才是系统动量发生改变的原因，系统的内力只能影响 系统内各物体的动量，但不会影响系统的总动量．（4） 动量守恒指的是总动量在相互作用的过程中时刻守恒，而不是只有始末状态才守恒．实际列 方程时，可在这守恒的无数个状态中任选两个状态来列方程．（5）系统动量守恒定律的三性：① 矢量性：公式中的v「v2、叮和v2‘都是矢量•只有它们在同一直线上时，并先选定正方向，确 定各速度的正、负（表示方向）后，才能用代数方程运算，这点要特别注意．② 同时性：动量守恒定律方程两边的动量分别是系统在初、末态的总动量，初态动量中的速度必 须是相互作用前同一时刻的瞬时速度，末态动量中的速度都必须是相互作用后同一时刻的瞬时速度．③ 相对性：动量中的速度有相对性，在应用动量守恒定律列方程时，应注意各物体的速度必须是 相对同一惯性参考系的速度，即把相对不同参考系的速度变换成相对同一参考系的速度，一般以地面 为参考系．3．由多个物体组成的系统的动量守恒对于两个以上的物体组成的系统，由于物体较多，相互作用的情况也不尽相同，作用过程较为复 杂，虽然仍可对初、末状态建立动量守恒的关系式，但因未知条件过多而无法求解，这时往往要根据 作用过程中的不同阶段，建立多个动量守恒方程，或将系统内的物体按作用的关系分成几个小系统， 分别建立动量守恒定律方程．求解这类问题时应注意：（1） 正确分析作用过程中各物体状态的变化情况，建立运动模型；（2） 分清作用过程中的不同阶段，并找出联系各阶段的状态量；（3） 合理选取研究对象，既要符合动量守恒的条件，又要方便解题．要点诠释：动量守恒定律是关于质点组（系统）的运动规律，在运用动量守恒定律时主要注重初、 末状态的动量是否守恒，而不太注重中间状态的具体细节，因此解题非常便利．凡是碰到质点组的问 题，可首先考虑是否满足动量守恒的条件．4．动量守恒定律应用中的临界问题在动量守恒定律的应用中，常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运 动等临界问题．分析临界问题的关键是寻找临界状态，临界状态的出现是有条件的，这个条件就是临 界条件．临界条件往往表现为某个（或某些）物理量的特定取值．在与动量相关的临界问题中，临界 条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键．【例】如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速率均为v0二6.0m/s .甲车上有质量m = 1 kg的小球若干个，甲和他的车及所带小球总质量M］二50 kg，乙和他的车总质量M2二30 kg .甲不断地将小球一个一个地以v二16.5 m/s的水平速度（相对于地面）抛向乙，并被乙接住.问：甲至少要抛出多少个小球，才能保证两车不会相碰？【解析】两车不相碰的临界条件是它们最后的速度（对地）相同，由该系统动量守恒，以甲运动 方向为正方向，有M v —M v =（M + M）V , ①10 2 0 1 2再以甲及小球为系统，同样有M v = （M —nm）v' + nmv , ②1 0 1联立①②解得n = 15个.5. 动量变化的大小和方向的讨论动量的变化Ap是矢量，因动量的变化（动量的增量）是物体的末动量P跟物体的初动量P的（矢 量）差，即AP = P'-P。
它的方向是由P和P'共同决定的，它的运算符合矢量运算规则，要按平行四边形定则进行特别是当P与P'在一条直线上时，在选定正方向后，动量的方向可用正负号表示， 将矢量运算化为代数运算，计算结果为“+”，说明其方向与规定的正方向相同，计算结果为“—”，说 明其方向与规定的正方向相反6. 动量守恒定律的一般解题步骤① 确定研究对象（系统），进行受力分析：② 确定研究过程，进行运动分析；③ 判断系统在所研究的过程中是否满足动量守恒定律成立的条件；④ 规定某个方向为正方向，分析初末状态系统的动量；⑤ 根据动量守恒定律建立方程，并求出结果典型例题】 类型一、系统内力、外力的认识例1.如图所示，光滑水平面上有一质量为M的小车A，其上面有一个质量为m的物体B正在沿粗糙曲面下滑.以A和B两个物体为系统，试分析系统的内力和外力分别是哪些力.【思路点拨】分清系统的内力、外力；系统在水平方向上的总动量不发生变化．【答案】见解析【解析】B和A之间的作用力是系统内的物体之间的相互作用力，是内力.具体地说，A对B的 弹力和摩擦力以及B对A的反作用力（压力和摩擦力）是内力.地球是系统外的物体，因此，地球施 于A和B的重力以及地面对A的弹力是外力.【总结升华】改变A、B系统动量的力是系统的总重力和地面对A的支持力；系统在水平方向上 不受外力的作用，系统在水平方向上的总动量不发生变化．类型二、关于动量的理解例 2.关于动量的概念下列说法正确的是（ ）A. 动量大的物体惯性一定大B. 动量大的物体运动一定快C. 动量相同的物体运动方向一定相同D. 动量相同的物体速度小的惯性一定大【答案】 CD【解析】物体的动量是由速度和质量两个因素决定的。
动量大的物体质量不一定大，惯性也不一 定大， A 错；同样，动量大的物体速度也不一定大， B 错；动量相同指动量的大小和方向均相同，而 动量的方向就是物体运动的方向，故动量相同的物体运动方向一定相同， C 对；动量相同的物体，速 度小的质量大，惯性也大， D 对总结升华】物体的动量是由速度和质量两个因素决定的；质量是惯性大小的量度理解动量的 定义是解此题的关键举一反三：【变式】下列关于动量的说法中正确的是（ ）A. 动量大的物体受到的力一定大B. 动量大的物体一定运动的快C. 动量大的物体的惯性一定大D. 动量大的物体的质量与速度的乘积一定大【答案】 D【解析】由动量的定义式P mv可知，物体的动量是由物体的质量和速度共同决定的，动量大小 与物体是否受力无关，所以A错误的，动量大的物体其速度不一定大即动量大，物体运动的不一定快， 所以 B 错，质量是物体惯性大小的量度，动量大的物体其质量不一定大，即动量大的物体，惯性不一 定大，故C错，D是正确的类型三、关于动量变化的计算例3.—个质量是0.1kg的钢球，以6m/s的速度水平向右运动，碰到一个坚硬的障碍物后被弹回，沿着同一直线以6m/s的速度水平向左运动。