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1、高三数学书本知识整理（代数部分）一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性. 2.对集合，时，你是否注意到“极端”情况：或；求集合的子集时是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.3.对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 4.“交的补等于补的并，即”；“并的补等于补的交，即5.集合的表示法： 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 。 注意：区分集合中元素的形式：如：；6.符号“”是表示元素与集合之间关系的，符号“”是表示集合与集合之间关系的。7.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题
2、，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；8.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；9.反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可
3、能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。10.书本重要习题：习题1.3 7，8 习题1.5 7 习题1.7 2，3，4 复习参考题一 (A)11, 12, 13 (B)1, 2, 3, 6二、函数1.指数式、对数式，.，.2.(1)映射是“全部射出加一箭一雕”；映射中第一个集合中的元素必有像，但第二个集合中的元素不一定有原像（中元素的像有且仅有下一个，但中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集的子集”. (2)函数图像与轴垂线至多一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不
4、一定能成为函数图像.(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：，但.函数的反函数是，而不是.（5）函数解析式的求法：定义法（拼凑）：换元法：待定系数法：赋值法： （6）函数值域的求法：配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
5、基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。3.单调性和奇偶性判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(-x)=0或（f(x)0）;(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称L.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.对于偶函
6、数而言有：.（2）若奇函数定义域中有0，则必有.即的定义域时，是为奇函数的必要非充分条件.（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件. (5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有 有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必
7、异性”.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化。（即复合有意义）（8）导数与函数的单调性的关系与为增函数的关系.能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，是为增函数的充分不必要条件。时，与为增函数的关系。若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。当时，是为增函数的充分必要条件。与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断
8、好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。求极值、求最值。注意：极值最值。函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)
9、 、f(b)中最小的一个。f/(x0)0不能得到当x=x0时，函数有极值。但是，当x=x0时，函数有极值 f/(x0)0判断极值，还需结合函数的单调性说明4.对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）(1)函数与函数的图像关于直线（轴）对称.推广一：如果函数对于一切，都有成立，那么的图像关于直线（由“和的一半确定”）对称.推广二：函数，的图像关于直线（由确定）对称.(2)函数与函数的图像关于直线（轴）对称.推广：函数与函数的图像关于直线对称（由“和的一半确定”）.(3)函数与函数的图像关于坐标原点中心对称.推广：函数与函数的图像关于点中心对称.(4)函数与函数的图像关于直线对称.推广：曲线
10、关于直线的对称曲线是；曲线关于直线的对称曲线是.(5)曲线绕原点逆时针旋转，所得曲线是（逆时针横变再交换）.特别：绕原点逆时针旋转，得，若有反函数，则得.曲线绕原点顺时针旋转，所得曲线是（顺时针纵变再交换）.特别：绕原点顺时针旋转，得，若有反函数，则得.(6)类比“三角函数图像”得：若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为.若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为.如果函数的图像有下一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为.如果是R上的周期函数，且一个周期为，那么.若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2a的周期函数；若y=f(x)奇
11、函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4a的周期函数；若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数；若y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(ab)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数；特别：若恒成立，则.若恒成立，则.若恒成立，则.如果是周期函数，那么的定义域“无界”.5.图像变换(1)函数图像的平移和伸缩变换应注意哪些问题？函数的图像按向量平移后，得函数的图像.(2)函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函
12、数、三角函数、“鱼钩函数”及函数等）相互转化.（4）掌握函数的图象和性质；函数(b ac0)）定义域值域奇偶性非奇非偶函数奇函数单调性当b-ac0时:分别在上单调递减；当b-ac0时:分别在上单调递增；在上单调递增；在上单调递增；图象yXoX=-cY=axyo 注意：形如的函数，不一定是二次函数. 应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系. 形如的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线(由分母为零确定)、直线(由分子、分母中的系数确定)，双曲线的中心是点.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；
13、二看对称轴与所给区间的相对位置关系；恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：；6.补充内容：抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： 正比例函数； ； 7.书本重要习题：习题2.1 6 习题2.2 6 习题2.3 5，6 习题2.4 4，5习题2.5 2，6，7 习题2.7 3 习题2.8 4 2.9例1 ，例3 本节练习题2（你能利用此题改编出一道最值问题的应用题吗？）本章小节与复习的参考例题1，2，3复习参考题二 （A）3，12， （B） 2, 3, 5三、数列1.
14、数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前项和公式的关系：(必要时请分类讨论).注意：；.2.等差数列中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性.（2）；.(3)、也成等差数列. (4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.(5)仍成等差数列.（6），.(7)；.(8)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和；(9) 对等差数列an,当项数为2n时，S偶S奇nd；项数为2n1时，S奇S偶a中（nN*）；（10）两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解.(11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式).3.等比数列中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.（2）； .(3) 、成等比数列；成等比数列成等比数列.(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.(5)成等比数列.（6）.特别：.(7) .(8)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数
