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1、解题思维3高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.12分在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且2bcosB=3ccosC=asinA,a2+bc=b2+c2.(1)求实数的值; (2)若a=2,求ABC的面积.2.12分如图3-1所示,在平面直角坐标系xOy中,扇形OAB的半径为2,圆心角为23,点M是弧AB上异于A,B的点.(1)若点C(1,0),且CM=2,求点M的横坐标;(2)求MAB面积的最大值.图3-13.2021浙江杭州二中、学军中学等五校联考,14分已知f(x)=sin x(sin x+3cos x),在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)求f
2、(x)的单调递减区间;(2)若f(A)=32,a=2,求ABC周长的取值范围.4.2021八省市新高考适应性考试,12分在四边形ABCD中,ABCD,AD=BD=CD=1.(1)若AB=32,求BC;(2)若AB=2BC,求cosBDC.答 案解题思维3高考中三角函数、解三角形解答题的提分策略1.(1)依题意和正弦定理得2bcosB=bsinB,3ccosC=csinC,所以tan B=12,tan C=13,则tan A=-tan(B+C)=-12+131-16=-1,所以A=34.(5分)由余弦定理得,=b2+c2-a2bc=2cos A=-2,所以=-2.(6分)(2)由tan B=12
3、,tan C=13,易得cos B=25,cos C=310,依题意及(1)得2bcosB=3ccosC=2,所以b=25,c=210,(10分)则SABC=122102522=15.(12分)2.(1)连接OM,依题意可得,在OCM中,OC=1,CM=2,OM=2,所以cosCOM=22+12-(2)2221=34,(3分)所以点M的横坐标为234=32.(6分)(2)连接OM,设AOM=,(0,23),则BOM=23-,SMAB=SOAM+SOBM-SOAB=1222sin +sin(23-)-122232=23sin(+6)-3,因为(0,23),所以+6(6,56),(10分)所以当+
4、6=2,即=3时,MAB的面积取得最大值,最大值为3.(12分)3.(1)f(x)=sin x(sin x+3cos x)=1-cos2x2+32sin 2x=sin(2x-6)+12,(3分)令2+2k2x-632+2k,kZ,得3+kx56+k,kZ,f(x)的单调递减区间为3+k,56+k,kZ.(6分)(2)由(1)可知,f(A)=sin(2A-6)+12=32,则sin(2A-6)=1,0A,-62A-6a=2,2b+c4,4a+b+c6,(13分)ABC周长的取值范围是(4,6(14分)解法二由正弦定理asinA=bsinB=csinC得,b=asinAsin B=433sin B
5、,c=asinAsin C=433sin C,b+c=433(sin B+sin C).(10分)A=3,C=-A-B=23-B,sin B+sin C=sin B+sin(23-B)=32sin B+32cos B=3sin(B+6),(12分)又B(0,23),B+6(6,56),sin(B+6)(12,1,b+c(2,4,a+b+c(4,6,(13分)ABC周长的取值范围是(4,6.(14分)4.(1)因为ABCD,所以ABD=BDC.(1分)在ABD中,由余弦定理,得cosABD=AB2+BD2-AD22ABBD=34,(3分)在BCD中,由余弦定理,得cosBDC=BD2+CD2-BC22BDCD=cosABD=34,解得BC=22.(6分)(2)设BC=x,则AB=2x,在ABD中,由余弦定理,得cosABD=AB2+BD2-AD22ABBD=x,(8分)在BCD中,由余弦定理,得cosBDC=BD2+CD2-BC22BDCD=2-x22,(10分)由(1)知BDC=ABD,所以cosBDC=cosABD,所以x=2-x22,解得x=3-1,则cosBDC=3-1.(12分)
