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1、斐波那契数列斐波那契数列斐波纳契数列,又称黄金分割数列,指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F0=0, F1=1, Fn=F(n-1)+F(n-2) (n=2, nEN* )在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美 国数学会从1960年代起出版了斐波纳契数列季刊，专门刊载这方面的研究成果。定义斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci
2、)， 自然中的斐波那契数列生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多” 1202年，他 撰写了珠算原理(Liber Abacci) 一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧 洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚 地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希 腊、西西里和普罗旺斯研究数学。通项公式递推公式斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21如果设F(n )为该数列的第n项(nEN+)。那么这句话可以写成如下形式：F(1) = 1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+
3、F(n-2) (n3)，显然这是一个线性递推数列。通项公式斐波那契数列通项公式(见上图)(又叫“比内公式” 是用无理数表示有理数的一个范例。)注：此时 a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2) (n=3,nN*)通项公式的推导方法一：利用特征方程(线性代数解法)线性递推数列的特征方程为：XA2=X+1解得X1=(1+5)/2, , X2=(175)/2。则 F(n)=C1*X1An + C2*X2An。F(1)=F =1。C1*X1 + C2*X2。C1*X1A2 + C2*X2A2。解得 C1=5/5, C2=-5/5。.F(n)= (5/5)*(l+5)/25 - (5)/25
4、 (5表示根号5 ) 方法二：待定系数法构造等比数列1 (初等代数解法)设常数r, s。使得 F(n)-r*F(n-1)=s*F(nT)-r*F(n-2)。贝U r+s=1，-rs=1。n 3时，有。F(n)-r*F(n-1)=s*F(nT)-r*F(n-2)。F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3)。F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4)。F-r*F(2)=s*F(2)-r*F(l)。 联立以上n-2个式子，得： F(n)r*F(n1) = sA(n2)*F(2)r*F(l)。 / s=1-r, F(1)=F(2)=1。上式可化简得：F(
5、n)=sA(n-1)+r*F(n-1 )。那么：F(n)=sA(n-1)+r*F(n-1 )。=sA(nT) + r*sA(n-2) + 严2*卩(门-2)。=sA(nT)+ r*sA(n-2)+ 严2*$八(门一3)+ 严3*卩(门一3)。=sA(nT) + r*sA(n-2) + 严2*$八(门-3) + rA(n-2)*s + rA(n-1)*F(l)。=sA(nT) + r*sA(n-2) + 严2*$八(门-3) + rA(n-2)*s + 严(门-1 )。(这是一个以sA(n-1)为首项、以rA(n-1 )为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和)。= sA(n-1)-rA(nT)
6、*r/s/(1-r/s )。= (sAn - rAn)/(s-r )。r+s=1,-rs=1 的一解为 s=(1+5)/2, r=(1-5)/2。则 F(n)= (5/5)*(1+5)/2An 一 (1一5)/2人打。方法三：待定系数法构造等比数列2 (初等代数解法)已知 a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n=3),求数列an的通项公式。解：设 an-aa(n-1) = D(a(nT)-aa(n-2)。得a +卩=1。aP =-1。构造方程 xA2-x-1=0,解得 a = (1-5)/2,P = (1+5)/2或 a = (1+5)/2,卩=(1-5)/2。 所以。an-
7、(1-5)/2*a(n-1) = (1+5)/2*(a(n-1)-(1-5)/2*a(n-2) = (1+ 5)/2A(n2)*(a2(15)/2*a1)1。an-(1+5)/2*a(n-1) = (1-5)/2*(a(n-1)-(1+5)/2*a(n-2) = (1- 5)/2A(n2)*(a2(1+5)/2*a1)2。由式1,式2,可得。an=(1+5)/2A(n2)*(a2(15)/2*a1)3。an=(15)/2A(n2)*(a2(1+5)/2*a1)4。将式 3*(1+5)/2-式 4*(15)/2,化简得 an=(1/5)*(1+5)/2An - (1-5)/2血。 与黄金分割关系
8、有趣的是：这样一个完全是自然数的数列,通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向 于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.(或者说后一项与前一项的 比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 0.618)1 - 1=1, 2 - 1=2, 3 = 2=1.5, 5 = 3=1.666., 8 - 5=1.6, , 89 -55=1.6181818, 233 = 144=1.618055 75025 = 46368=1.6180339889.越到后面，这些比值越接近黄金比.证明an+2=an+1+an。两边同时除以an+1得到：an+2
9、/an+1=1+an/an+1。若an+1/an的极限存在，设其极限为x,则 limn-; 8(an+2/an+1)=limn-; 00(an+1/an)=xo 所以 x=1+1/x。即 x²=x+1。所以极限是黄金分割比.特性平方与前后项从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项 之积少1o如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1,第三项2的平方比它的前一项1 和它的后一项3的积3多1。(注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列 第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项
10、，那就误解题意，怎么 都说不通)证明经计算可得：f(n)A2-f(n-1)f(n+1) = (-1)A(n-1)与集合子集斐波那契数列的第n项同时也代表了集合1,2n中所有不包含相邻正整数的子集个数。求和f(0)+f(l)+f (2)+.+f(n)=f(n+2)-1奇数项求和f(l)+f +f +.+f(2n-1)=f(2n)偶数项求和f +f(4)+f (6)+.+f(2n) =f(2n+1)-1平方求和f(0)A2+f(l)A2+.+ f(n)A2=f(n ) f(n+1)加减求和f(0)f(l)+f+(1)An - f(n) = (-1)An f(n+1)-f(n)-1和项数公式f(n+
11、m)=f(n+1) - f(m)+f(n) - f(m1)。奇数项与前后的平方f(2n1) = f(n)A2f(n2)A2o偶数项与前后的平方f(2n+l) = f(n)人2+f(n+l)人2.隔项关系3f(n)=f(n+2)+f(n-2 )。f(2n-2m-2)f(2n)+f(2n+2)=f(2m+2)+f(4n-2m) nm-1，且 n 1两倍项关系f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)应用生活中斐波那契斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前一一比如松果、凤梨、树叶的排列、 某些花朵的花瓣数(典型的有向日葵花瓣)，蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e (可以推出更多)， 黄金矩形、
12、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。斐波那契数与植物花瓣3百合和蝴蝶花5蓝花搂斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8翠雀花13金盏和玫瑰21紫宛34、55、89雏菊 斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子, 记其为数0,然后依序点数叶子(假定没有折损)直到到达与那些叶子正对的位置，则其间 的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在 一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序 (源自希腊词，意即叶子的排列)比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。黄金分割随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越
13、来越逼近黄金分割的数值0.6180339887. 杨辉三角将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、 8公式表示如下：f(l)=C(0,0)=1。f =C(1,0)=1。f =C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。f =C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。f =C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。f =C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。F(7)=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+.+C(nT-m,m) (m=n
14、-1-m)质数数量斐波那契数列的整除性与素数生成性每3个连续的数中有且只有一个被2整除，每4个连续的数中有且只有一个被3整除，每5个连续的数中有且只有一个被5整除，每6个连续的数中有且只有一个被8整除，每7个连续的数中有且只有一个被13整除，每8个连续的数中有且只有一个被21整除，每9个连续的数中有且只有一个被34整除， 我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数:5，13，89，233，1597，28657(第 19位 不是)斐波那契数列的素数无限多吗？尾数循环斐波那契数列的个位数：一个60步的循环11235,83145,94370,77415,61785.38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910 进一步，斐波那契数列的最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环， 最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环。自然界中巧合斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条， 往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔， 例如一年
