《数学建模论文之盐堆稳定性问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模论文之盐堆稳定性问题（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、盐堆稳定性问题摘 要本文要解决的是如何堆放盐的问题，即在绝对安全的情况下，求盐堆的最大高度。本文从宏观的角度，对问题进行了分析。模型定义了盐堆在自然状态下的临界角和在有铲斗车压力的临界角，以及假定盐堆高度为25英尺的条件，经过对模型的求解，我们求得盐堆的最大高度为21.7英尺。本模型简单，思维清晰，很容易的解答了盐的存储问题，但缺陷也是太简单，但并不影响本问题的解答。一、 问题的重述西部一个州把冬天用来洒在马路上的盐存贮在一个球顶仓库里大约有15年了。下图表示在过去15年中盐是怎么存贮的。通过驾驶铲斗车在由盐铺成的坡道上进出仓里并利用铲斗车上的铲子把盐装进仓里或从仓里取出来。最近，一个小组确定
2、这种做法是不安全的。如果铲斗车太靠近盐堆的顶端，盐就要滑动，而铲斗车就要翻到为加固仓库而筑的拥壁上去。小组建议，如果盐堆是用铲斗车堆起来的那么盐堆的最高高度不要超过15英尺。对这种情况建立一个数学模型并求得在仓库中的盐堆的最大高度。图中仓高50英尺，拥壁高4英尺，仓的外直径103英尺，门的净空高19英尺9英寸，铲斗车高10英尺9英寸。二、 模型的假设（1）盐仓的顶部不能支撑任何负荷；（2）挡壁可支撑任何符合；（3）盐堆的高度从仓库的地面算起；（4）专家建议小组的高度是一个“绝对”安全极限，即铲斗车可以开到斜坡的任何点，而盐坡不会发生滑动。三、 符号说明符号符号说明盐的临界角铲斗车在盐堆上的负载
3、临界角铲斗车在地面上堆盐时，盐堆的高度铲斗车在正斜坡上堆盐时，盐堆的高度铲斗车在负斜坡上堆盐时，盐堆的高度盐堆的最大高度四、 模型的分析与建立首先定义所谓的临界角，它是指非粘性粒状物质（盐）在自然堆积能维持平衡时，从水平面来测量的最大角度。当有重物放置到具有临界角度的盐堆时，会使盐下滑形成新的临界角，它依赖于负载，称这时的临界角为负载临界角。因此，有两个值得注意的临界角。对此问题的分析有两种方法：一种是微观的方法，一种是宏观的方法。后者主要依赖与如下三个参数：（1）盐的临界角，记为；（2）铲斗车在盐堆上的负载临界角，记作；（3）铲斗车的可达半径，记为。可达半径是指铲斗车的前轮触地点到铲斗下唇（
4、最低处）的距离。这三个参数可以通过实验测得。此外，这样简化能使我们集中精力考虑盐堆的方法，从而在保证绝对安全的同时，求得盐堆高度的最大值。下面就从宏观的方法分析这个问题。首先分析铲斗车。如果已测出盐的临界角以及铲斗车的可达半径，当铲斗车在地面上堆盐时，则盐堆的最大高度可由盐的临界角和铲斗车的可达半径确定，即当铲斗车在正斜坡上堆盐时，盐堆的高度为这里的等于盐堆顶点到正斜坡的铅垂高度。相反的，如果铲斗车在负斜坡上堆盐时，盐堆的高度为这里的等于盐堆顶点到负斜坡表面的铅垂高度。至此我们已经弄清楚了对铲斗车的限制，接着就来分析仓库里盐堆的“绝对”安全的条件（见图1）。图1这里为铲斗车在盐堆上行驶时的盐堆
5、负载临界角。由假设知，铲斗车可以在盐堆锥形面上任意行驶，可由下式给出进一步，盐被堆到2530英尺高是可能的，且假设约为5英尺（图2）图2由此可算得为从而可导出铲斗车的可达半径为因为英尺，我们假设为5英尺或者是合理的，正是这些值决定了盐堆的最大高度。我们确信表示了专家小组的建议即所谓的安全面。因此，如果铲斗车的驾驶员遵循下面的简单规则则在其安全面增加盐的存贮是可能的。（1）先将仓库的盐堆积到“绝对”安全条件满足为止。（2）在安全面上再堆盐，从仓库门对面的边缘开始堆放，再对仓库其它边缘对方，这是驾驶员绝对不许在新堆的盐上行驶。（3）新盐堆应靠先前放好的盐堆。（4）为了保证稳定性，铲斗车应沿梯度方向
6、行驶。为了避免在斜坡上转弯。规定左右转变应在安全面的顶部完成。（5）铲斗车通过倒退从道路到门口堆盐。如果这些简单的规则能遵守，在圆顶仓库里就可多堆放盐且能维持“绝对”安全。五、 模型的求解按上述提供的堆盐方法，最后得到的盐堆的正视图如图4所示。我们用表示圆顶仓库底部的半径，用表示堆盐的最大高度，则有用前面的数值代入上式便得英尺图4六、 模型的评价本模型的优点是建模简单，可以毫无困难地说清得到的结论和方法。这个模型有三个特定的参数，它们都是很容易获得的。这个模型的缺点也恰恰是它的简单性。在采用宏观参数时往往忽略了某些关键的地方。下面来看其灵敏度分析。最大高度的扰动为对取前面的特殊值且分别给的扰动，则这个值约为的，这正好说明我们提供的方法是稳定的。我们也可以借助于物理的方法，由盐的外摩擦系数、内摩擦系数定出静态平衡的最大倾斜角，利用粒子原理、流体力学和晶体压力分析的知识，在假定盐粒和晶体有类似性的前提下，通过莫尔圆来分析盐堆和决定盐堆的最大高度（盐的内在参数可以通过试验取得）。这就是用微观的观点处理此问题的思想。七、 参考文献【1】 ISBN 7-04-018490-7 朱道丽 徐庆 叶耀华主编 运筹学 北京：高等教育出版社，2006.4【2】 ISBN 7-04-016328-4 韩中庚著 数学建模方法及其应用 北京：高等教育出版社，2005.65
