《数学竟赛培训资料(理工)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学竟赛培训资料(理工)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学竞赛培训资料(理工)第六讲曲线积分(一)内容要点及重要方法提示1.第一型(对弧长)曲线积分.弧微分ds Jdx2 dy2 dz2 dl.注意无方向问题，一般计算程序：画出积分路径的图形；将路径用参数式表示；表1为参变量 的微分式后化成定积分计算.(1)化成参变量的定积分计算.22例6.1.设c0为常数，L： x y”求1上从原点到点A(x0,y0,z0)的弧长.y xtan c解.L的参数方程是：x c,cc cos|, y VcZsin-Z ,z z,弧微分ds 等cdz,因此所求弧长 c-c4 Czs 00ds . cz0(1 票).222例6.2.计算均匀密度的球面x y z2 ,a
2、 (a 0)在第一卦限部分的边界曲线的重心坐标解.边界曲线的三段弧分别有参数方程x=a cos 0 , y=a sin 0 , z=0,0 0 u / 2; x=acos 6 , y= 0, x= 0, y= a cos(), z=asin (),0 0 .解.用极坐标，L: r4 a2r2(cos2 sin2 )22r a cos2 .根据对称性得积分I =4 04 r sin 2r1)2d4a2(1 芋).例6.4.设L是顺时针方向椭圆 / y21,周长为l,则口 (xy x2 4y2)ds= .(2001 天津赛)解.？ y21x2 4y24,根据对称性得积分=4l2.第二型(对坐标)曲
3、线积分.Pdx Qdy Rdz F dlCC注意有方向问题，一般计算方法有：化成参变量的定积分计算；应用格林公式或斯托克斯公式 利用与路径无关条件计算.(1)化成参变量的定积分计算.例6.5.设L为 正向圆周x2 y2 2在第一象限中的部分，则曲线积分Lxdy 2ydx=解.L: x 、-2 cos , y .2sin:0w.于是有积分=3兀/ 2 .例6.6.设C是从球面x2y2z2a2上任一点到球面x2 y2z2b2上任一点的任一光滑曲线(a0, b0),计算积分 I=l r 3(xdx ydyzdz),其中r xx2y2 z2.解.rdr=xdx+ ydy+ zdz , I=r3 rdr
4、 1(b5a5).a5(2)格林公式的应用(注意条件).当L不闭合时，应添加光滑曲线使其闭合后再用格林公式.例6.7.设L是分段光滑的简单闭曲线,(2,0) 、( 2,0)两点不在L上.试就L的不同情形分别计算如下曲线积分的值：I o y-。 ：2 2dx 4J0 v 2dy. (1991上海竞L (2 x) y (2 x) y(2 x) y (2 x) y 赛)解.令A(2,0) ,B( 2,0) ,L包围的平面区域内部为D,记G D L,PV,P2V,Q 22x2,Q2(22x)2,P PP2,QQ1Q2., 1(2 x)2 y2 12(2 x)2 y2 , f(2 x)2y2, 2(2
5、x)2 y2,1212P1(2x)2y2Q1 P2(2 x)2 y2Q2、(2x)2y22 , 丁(2 x)2 y22 .(1) A、B均为G的外点，根据格林公式有I=0 .(2) A为G的内点，B为G的外点，则以A为中心作半径r充分小的闭圆盘 E含于D内，记E的正 向边界为C ,有I=(今-P)dc Pdx Qdy 0 Rdx QdyP2dx Q?dyL C CCCCD E=o P1dx Qdy,且 C : x=2+r cos 0 , y=rsin 0 ,0 8 0上的向量A(x, y)=2xy(x4 y2) i x2(x4 y2) j为 某二元函数u(x, y)的梯度，并求u(x, y)
6、.(1998研)解.令 P(x, y)=2xy(x4y2) ,Q(x,y)x2(x4 y2)，由-x 解得入=1 .然后有(x,y)yu(x, y)= 0)P(x, y)dx Q(x, y)dy C arctan/ C.(5)曲线积分的证明题.例6.11.设P(x, y), Q(x, y)具有连续的偏导数，且对以任意点 x0,y0为圆心，以任意正数r为半径的上半圆L: x x0 r cos , y y0 r sin (0),恒有 l P(x, y)dx Q(x, y)dy 0.证明：P(x, y) 0,工学 0. (2004天津竞赛)证.记上半圆直径为 AB取AB+L为逆时针方向，其包围的区域
7、为 D,由格林公式与积分中值定理AB AB L LAB LD (A Jy)dxdy (-Q ()m km D 且x0 rP(x, y0)dx P( ,y0) 2r.%r,x0r,于ABXo r(4-v)m2r2P(,y。),令r0得：lim P( ,y。)0,P(x0,y。)0.由(x。，y。)的任意性Xo知 Rx, y)三。，且4|m 0,4 (xo，yo)0,0.L上，曲线积分例6.12.设函数6 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线(y)dx 2xydy2x2 y4的值恒为同一常数(1)证明：对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有二号铲。;(2)求函数6 (y)
8、的表达式.(2005 研)解.(1)设C是半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线,在C上任取两点M N围绕原点作闭曲线(如图)进行积分即得证明.(2)由(1),在半平面x0内积分与路径无关，得告-f,(y)2y, (y)y4 4 (y)y3 2y5,22(y) y2 c,c o, (y) y2.例6.13.设在上半平面 D=( x, y)| y0内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t0都有f(tx , ty )= t 2 f (x,y).证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有l yf (x, y)dx xf (x, y)dy 0. (2006 研)0丁yf(x,y)- x
9、f(x,y) 2f (x, y) yf2 (x, y) xf(x, y) 0.又f (tx , ty )= t 2 f (x, y) t2 f(tx,ty) f(x, y),对 t 求导后，令 t=1,即可得结果.3 .曲线积分的应用题.例6.14.若悬链线yach等上每一点的密度与该点的纵坐标成反比，且在点(0, a)的密度等于b.试求曲线在横坐标 0到a的点之间弧段 C的质量m .解.由条件知曲线上点(x, y)处的密度为ab/y,于是m= abdsa ab 1 (y)2dx ab 11x ： 1 sh2 ；dx ab.C y0y0 achaa例6.15.质点P在力F作用下从点A(1,2)
10、沿着直径AB的半圆周(见图)运动到B(3,4) , F的大 小等于点P(x, y)与原点间的距离，方向垂直于线段 OP且与y轴正向夹角为锐角.求变力F所作 的功W .解.F= yi+xj,令 L 是所述 AB弧：x 2 72cos , y 3 /2sin , : -37 于是W= lF dll ydx xdy 2( -1).4 .两类曲线积分的联系.LPdx Qdy RdzJPcosQcosRcos )ds,其中cos a ,cos 3 ,cos 丫为有向曲线 L的正向切线的方向余弦. (二)习题6.1. 填空题：设当x 0时，In %(x2yd；2：y)2(其中C为有向圆周x2y2 /)与a
11、n为同阶无穷小，则n= . (2002北京竞赛)6.2. 设曲线是平面x+y+z=1与球面x2 y2z21的交线，试求积分。(x y2)ds6.3. 设L是平面区域 D0 w xw兀，0 w y w兀，的正向边界.证明：sin ysin xsin ysin xsin ysin x2(1) l xe dy ye dx l xe dy ye dx. (2) ；xe dy ye dx 2 .6.4. 计算曲线积分I=。咨岑，其中L是以点(1,0)为中心，为半径的圆周(R1),取逆时针方向.L 4x26.5. 求 I= Jexsiny b(x y)dx (ex cosy ax)dy,其中 a, b 为
12、正的常数，L 为从点 A(2 a,0)沿曲线y42ax x2到点C(0,0)的弧.(1999研)6.6. 设二元函数u( x, y)在有界闭区域 D上可微，在D的边界曲线上u(x, y)=0,并满足-u 节=u (x, y),求u(x, y)的表达式.(2005 天津竞赛)一(t,t2)26.7. 设二兀函数f (x, y)具有一阶连续偏导数，且(00)f (x, y)dx xcosydy t，求f(x, y). (2005 津)6.8. 设f(x)连续可导，f (1)=1, G为不包含原点的单连通域，任取M NC G,在G内曲线积分M2XW(ydx xdy)与路径无关222求f(x); (2)求 去f)(ydx xdy),其中 为x马y3a，取正向.(2004江苏竞赛)6.9. 计算I= o (x4(：y)dy,其中L是绕原点两周的正向闭路. l x y(三)习题解答或提示6.1. 应填：2 .2226.2. 斛.利用对称性，因白xds口 yds czds,
