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4、示； 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用 理解直线的方向向量与平面的法向量； 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用二【命题走向】本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离预测2010年高考对本讲内容的考
5、查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度三【要点精讲】1空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2向量运
6、算和运算率 加法交换率：加法结合率：数乘分配率：说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量（）、，的充要条件是存在实数使注：上述定理包含两个方面：性质定理：若（0），则有，其中是唯一确定的实数。判断定理：若存在唯一实数，使（0），则有（若用此结论判断、所在直线平
7、行，还需（或）上有一点不在（或）上）。对于确定的和，表示空间与平行或共线，长度为 |，当0时与同向，当0时与反向的所有向量若直线l，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 其中向量叫做直线l的方向向量在l上取，则式可化为 当时，点P是线段AB的中点，则 或叫做空间直线的向量参数表示式，是线段AB的中点公式。注意：表示式()、()既是表示式,的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；推论的用途：解决三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4向量与平面平行：如
8、果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作。注意：向量与直线a的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使或对空间任一定点O，有在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。式叫做平面MAB的向量表示式又代入，整理得 由于对于空间任意一点P，只要满足等式、之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内
9、的任意一点P，都满足等式、，所以等式、都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件5空间向量基本定理：如果三个向量、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使说明：由上述定理知，如果三个向量、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、生成的，所以我们把，叫做空间的一个基底，都叫做基向量；空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面
10、，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使6数量积（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，则角AOB叫做向量与的夹角，记作ABO（1）OAB（2）ABO（3）说明：规定0,因而=；如果=，则称与互相垂直，记作；ABO（4）在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，图（3）中AOB=，图（4）中AOB=,从而有=.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。ABl即=，向量:（4）性质与运算
11、率。 =0 = 四【典例解析】题型1：空间向量的概念及性质例1有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ） 解析：对于“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以错误。正确。点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系例2下列命题正确的是（ ）若与共线，与共线，则与共线；向量共面就是它们所在的直线共面；零向量没有确定的方向；若，则存在唯一
12、的实数使得；解析：A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量答案C。点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾题型2：空间向量的基本运算例3如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ） 解析：显然；答案为A。点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力例4已知：且不共面.若,求的值.解：,且即又不共面,点评：空
13、间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。题型3：空间向量的坐标例5（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）A. ：|=：|B.a1b1=a2b2=a3b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若|=6，则x+y的值是（）A. 3或1 B.3或1 C. 3 D.1（3）下列各组向量共面的是（）A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1
14、)D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；（2）A点拨：由题知或；（3）A点拨：由共面向量基本定理可得点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况例6已知空间三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k2互相垂直，求k的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.解：A(2，0，2)，B（1，1，2），C(3，0，4)，=，=，=(1，1，0)，=（1，0，2）.(1)cos=，和的夹角为。(2)k+=k（1，1，0）+（1，0，2）（k1，k，2），k2=（k+2，k，4），且(k+)（k2），（k1，k，2）（k+2，k，4）=(k1)(k+2)+k28=2k2
