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1、导数中双变量的函数构造21(1分)已知函数(） ()若函数是单调函数，求的取值范畴；（2)求证:当时,均有21解：（1）函数的定义域为，,函数是单调函数，或在上恒成立,，,即，令,则，当时,；当时,.则在上递减，上递增,;，即,由得在上递减，上递增，又,时,;综上可知，或; .分（2)由(1）可知,当时，在上递减，,，即,，要证,只需证,即证，令,则证,令,则，在上递减，又，,即,得证. .分典例已知函数f（x)=xln x(aR)的图象在点(1，f（1)处的切线与直线xy0垂直(1)求实数a的值；(）求证：当nm时,ln -ln m-.解 (1)由于f（x)=ax+xnx，因此f(x）2ax
2、ln x1，由于切线与直线3y=0垂直，因此切线的斜率为，因此f()=3，即2a1=3，故a=（2)证明：要证lnn m-,即证ln,只需证l -令x,构造函数g（)ln xx（x）,则g(x)=+1.由于1,），因此g(x)=+，故g（x)在(1，)上单调递增.由已知nm0，得1，因此g(1)0，即证得ln0成立,因此命题得证.1(石家庄质检)已知函数f（)=a-(x0)，其中e为自然对数的底数.(1)当a时，判断函数(x)极值点的个数；（2）若函数有两个零点x1，x2(x0),f(x)=,令f(x)0，得x2，当（0,)时,f(x)0，y=f(x)单调递减，当(2，+)时,f()，y=(x
3、)单调递增，因此x2是函数的一种极小值点，无极大值点,即函数yf(x)有一种极值点.(2)证明:令f(x）=a0，得x=ex，由于函数有两个零点1，x2(x12），因此xaex,x=x2，可得ln x1ln ax1,取对数，做差将两个零点x1，x2(x1x2)，用t表达，注意的隐含范畴。lnx2=ln ax2故x2xlnx2ln x1=n又=t,则1,且解得，2=因此x1x2.令（x),x(1,)，则h（)=.令u(x)-ln x，得u(）当x(1，)时,u（x).因此，u(x)在（1，）上单调递增,故对于任意的（1，+),u（x）（）0，由此可得h(x)0，故(x)在(,)上单调递增因此，由
4、可得x+x2随着t的增大而增大.2（全国乙卷）已知函数f(x)(-2)ex(x1）2有两个零点(1)求a的取值范畴；(2)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x+0，则当(，)时,(）0,因此（）在(,1)内单调递减，在(1，+)内单调递增.又（1）=-，(2)a,取b满足b0且b（-2)+（b-1)a0，故f()存在两个零点设a0,由f（x）=0得x或ln(2a)若-,则ln(2a)1,故当x（1，+)时，f()0，因此f(x）在(1，)内单调递增.又当x1时,f（x）1，故当x（,l(2)）时,f（x)0因此f(x)在(1,l(-2a)内单调递减，在(ln(a),+)内单调递增又当x时
5、,f（x)0，因此f（x)不存在两个零点.综上，a的取值范畴为(0，+)（)证明:不妨设x1x,由（1)知，x1（-，1），2（1,+）,2-x2（-,1），又(）在(,1)内单调递减，因此x12f(2x)，即f（x）0.由于f(2-2)=-x2ea(2)，而(）=(x2-2）ex2+(x)20，因此(2-2)=x22-x-(x2-2)ex2.设g(）xex（x-2)x，则（)=(-1）(e2x-ex).因此当x1时,g(x)1时，g（x)0.从而(2)=(2-x2),故x1+x22.已知函数f(x)=exax-1(a为常数),曲线f(x）在与y轴的交点处的切线斜率为(1）求a的值及函数f（)
6、的单调区间;(3)若x1ln2，且f(1)=f(x2)，试证明：1+xln 2，因此2n2-xn 2，f（2ln 2-)=(2n 2x）2（2l 2-x)12-4ln21令（）（x)(ln2-x)ex-4x+4l 2(xn2)，因此g(x）ex4e-x-40，当且仅当xln 时,等号成立,因此g(x)=f(x)-f(ln 2-x)在( 2，)上单调递增又g(ln 2）0，因此当xln 2时,(x)=f(x)f(2l2-)g(n 2)=0，即f(x)f(2ln 2)，因此(x2)(2ln 2-2)，又由于f(1)(x2),因此f(1)（ln 2-x2)，由于2ln，因此2ln 2-x2ln2,由
7、于x1l 2,由（)知函数yf(）在区间(-，l2）上单调递减，因此x12ln2-x2，即x1+x22ln24.(沈阳质监)已知函数f（x)x2aln x(aR).()若曲线=f(）在1处的切线的方程为3x-y3=0，求实数a，b的值；(2)若x是函数（x)的极值点,求实数a的值;(）若2a，对任意x1,x2(0,2，不等式|f(x1）-(x)|m恒成立,求m的最小值.解：(1)由于f(x)=xaln xb,因此f(x）x,由于曲线yf(x)在x=1处的切线的方程为3x-3=0，因此即解得（2）由于x1是函数(x)的极值点,因此f(1）=-a0,因此=当a=1时,f(x)2ln x,定义域为(
8、0，)，f()x=,当01时，(x)1时,f(x)0,（x)单调递增,因此1.(3)由于-2,00，故函数f(x)在(,2上单调递增，不妨设0x1x22,则|f（x1)-(x2）|m可化为f(2)+f（x)+,设(x)=f(x)+=x2alnx+，则h(x1)(2).因此h(x)为(0,2上的减函数,即h（x）=x在(，2上恒成立，等价于x3-xm在（,2上恒成立,即-ax在(0,2上恒成立,又-2a0,因此x-2,因此x3-axx32x，而函数yx32x在(0,上是增函数,因此x3212(当且仅当a2,x=时等号成立).因此12，即m的最小值为2.5.已知函数f（)x-，g(x)aln x(
9、R).(1)当a-2时,求F(x)=f(x）（x)的单调区间;(2）设h(x)=(x)+g(x)，且h(x)有两个极值点为x，x2，其中x1,求h(x1)-h（x2)的最小值.解：（1）由题意得F(x)-alnx(0），则F(x)，令m(）x2ax1，则=a24.当22时,0，从而F（x)0，因此F（)的单调递增区间为（0，)；当a时,0，设()0的两根为x1=，x=，因此F(x）的单调递增区间为和,F(x)的单调递减区间为综上,当-a时,（x）的单调递增区间为(0,+)；当2时，F（)的单调递增区间为和，F(x)的单调递减区间为（2)对h(x)=xalnx,(，+)求导得,h(x)=1+=，
10、h(x)0的两根分别为1，x2，则有x1x=1，x1x2-a，因此x2，从而有a=x1.令(x)h(x）h=x-n x-=2,即H(x)2ln (x0）.当x时,H（x)0,因此(x)在上单调递减，又(x1)=h（x)-h=h(x1）h(x2）,因此h(x1)-h(x2)min=5ln 236.设(x)ex-a（x1）(1）若R,f(x）0恒成立,求正实数的取值范畴;（2)设g(x）=f(x)+，且A(x1,y),(x,2）(x)是曲线y（x)上任意两点,若对任意的-1,直线A的斜率恒不小于常数m，求m的取值范畴.解 (1)由于f（x）=xa(+1)，因此f(x)=e-a由题意,知a，故由（x)e-a0,解得xln.故当x(，ln)时,（x）,函数（)单调递增.因此函数f(x)的最小值为f(ln a)=n aa(l a+)aln a.由题意,若x，f()0恒成立,即f（x)ex-a（+1）0恒成立,故有aln a0，又a，因此l a0，解得a1.因此正实数a的取值范畴为(0,1.（2)设x1,x是任意的两个实数，且xx2则直线A的斜率为k=,由已知m，即由于x2x10,因此g（x2)g（1)(xx1),即(2）-x2g
