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1、欧几里得与几何学欧几里得（Euclid，生活于约公元前300）古希腊数学家.早年求学于雅典，深知柏拉图 的学说公元前 300 年左右来到亚历山大，在那里教学他是一位温良敦厚的教育家他主 张学习必须循序渐进，刻苦钻研反对投机取巧的作风和狭隘实用的观点据普罗克洛斯 （Proclus）记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的原本之外，还有没有其他学习几何 的捷径欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道”这句话后来成为千古 传诵的学习箴言另一则故事说：一个学生才开始学第一个命题，就问欧几里得学了几何学 之后将得到些什么欧几里得说：给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利欧几里得因其所著的原本流传
2、千古，他集公元前7世纪以来的希腊几何丰富成果之 大成，把它们整理在严密的逻辑系统中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学原本 是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范除 原本之外，他还有不少著作，可惜大都失传已知数是除原本之外唯一保存下 来的他的希腊文纯粹几何著作，体例和原本前6 卷相近，包括94 个命题，指出若图形中 某些元素已知，则另外一些元素也可以确定图形的分割现存拉丁文本与阿拉伯文本， 论述用直线将已知图形分割为相等的部分或成比例的部分光学是早期几何光学著作之 一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果还 有一些著
3、作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失欧几里得几何学欧几里得几何学 简称欧氏几何，是以欧几里得平行公理为基础的几何学它的创始人是 古代希腊的伟大数学家欧几里得他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方 法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础19世纪末期，德国数学家希尔伯特于 1899年发表了著名的著作几何基础，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系从 此人们把满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理 等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学特别指出的是，平 行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用凡与平行公理有关的命题，
4、都是欧几里得几何 学的结论如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于 180；存在相似形；勾股定理成立中等学校数学中的三角函数理论、平面解析几何的基础 理论，都是建立在欧几里得几何学的理论基础上的1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采 用几何变换对各种几何进行分类指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就 相应有一种几何学在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量根据这种 观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下（或在运动变换下）不变的科学中国现行中等学校几何教学内容，绝大部分是属于欧几里得几何学例如平
5、面几何、立 体几何、解析几何，以及有关三角部分的知识，绝大部分是欧几里得几何学中的重要知识欧几里得平行公理欧几里得平行公理 简称欧氏平行公理.对于任意直线a及不在a上的一点A,那么在a 和A确定的平面上，通过A点至多有一直线与直线a不交.这里，共面不交就是平行，所以 欧氏平行公理确定了直线间的平行关系在欧氏平面上的不交线，就是平行线，这种关系叙 述为“某某直线平行于某某直线”利用结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理与平行 公理，可推出一系列有关定理例如，如果两条平行线被第三条直线所截，则同位角、内错 角相等，同旁内角之和等于两个直角；三角形的内角和等于两个直角；平行四边形的对边相 等，对角相
6、等，邻角互补；三角形的两边被一条平行于第三边的直线所截，截得的对应线段 必成比例；相似形存在；勾股定理成立；圆幂定理成立；同角的三角函数间有sia+cos? a=l关系；在平面笛卡儿坐标系下，设其上任二点P（X, y】），P2（x2, y2）,则公式巴已戶（牝崔1卩+5 -力尸成立”等等欧几里得空间设V是实数域R上的向量空间，在V上定义了一个二元实函数，即任给a,B$V,有一 个唯一确定的实数记作（a,B）与它对应，这个二元实函数满足以下条件：1. （a,B） = （B,a）；2. （aa,B） =a（ a,B）；3. （a+B , Y ） = （a, Y）+ （B , Y）；4. （a,a）
7、O,当且仅当a=0时，（a,a）=O（其中a,B，丫是V的任意向量，a 是任意实数），贝V称此二元实函数为内积，称（a,B）为向量a与B的内积这样的一个内积 的实数域R上的向量空间V称为欧几里得空间，简称欧氏空间.例如通常几何中R上三维向量空间駡，在V3定义了二元实函数，即通常的点积：（a, B） = a B = a|B|cosG，此处| a |、| B |表示有向线段a与B的长度，。是a与B的 夹角.这个二元实函数显然满足上述四个条件，于是v3构成一个欧氏空间.3又如在 Rn 中，任给 a=（x，x2，xn）,B=（yi，y2，yn），规定（a,B）=xy + x2y2xnyn，则Rn作成一
8、个欧氏空间.由以上内积条件13，容易证明HLtLHL nIX J，工工工乩也（i，P 其中 J,弧 bjERMj=l1=1 Fl欧几里得平行公理的等价命题某些命题与欧几里得平行公理在公理系统刀的基础上能够互推，称这些命题在公理刀的 基础上与欧几里得平行公理等价.例如下述六个命题在结合公理、顺序公理、合同公理的系 统基础上与欧几里得平行公理等价：共面不交的二直线被第三直线所截成的同位角相等；平 面上一直线的垂线和斜线必相交；过不共线的三点恒有一圆；三角形三高线共点；过任一角 内任一点必可引直线与此角的两边都相交.下述十个命题在结合公理、顺序公理、合同公理 连续公理的系统基础上与欧几里得平行公理等价：任何三角形的内角和等于二直角（或等于 n ）；凸四边形的内角和等于四直角（或等于2n）；存在两三角形其三对角合同而本身不合同； 萨开里四边形的上底等于下底；三角形两边中点连接的线段等于第三边的一半；勾股定理圆内接正六边形的各边与圆的半径合同；半圆所对的圆周角是直角.与欧几里得平行公理在某个公理系统的基础上等价的命题还有很多，上面所举的 16 个命 题是常见的重要命题讨论欧几里得平行公理的等价命题的主要目的是，要进一步了解哪些 命题与平行公理有关，从而更深刻地认识到平行公理在欧几里得几何中的作用
