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1、课时作业52直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题(每小题5分，共40分)1(2014嘉兴一模，8)经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A3BC或3 D解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，(，)，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.答案：B2(2014石家庄一模)直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为()A16 B.C4 D.解析：由得x
2、23x40，xA1，yA，xD4，yD4，直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0,1)，且该圆圆心为F(0,1)，|AF|yA1，|DF|yD15，故选B答案：B3(2014潍坊一模)直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2C. D4解析：直线4kx4yk0，即yk(x)，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点(，0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x24，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是.答案：C4直线ykx1，当k变化时，此直线被椭圆y21截得的最大弦长是()A4
3、 B.C2 D不能确定解析：方法一：直线ykx1恒过定点P(0,1)，且是椭圆的上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q(2cos，sin)，|PQ|2(2cos)2(sin1)23sin22sin5当sin时，|PQ|，|PQ|max.方法二(排除法)：直线ykx1恒过定点(0,1)，该点是椭圆y21的上顶点，椭圆的长轴长为4，短轴长为2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除A，C；将直线ykx1绕点(0,1)旋转，与椭圆有无数条相交弦，其中必有最大弦长，因此排除D.故选B.答案：B5(2014台州质检)设斜率为的直线l与椭圆1(ab0)交于
4、不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|BF2|，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角的正切值为，结合图形易得tan，故|CF1|CF2|F1F2|2c，整理并化简得b2(a2c2)ac，即(1e2)e，解得e.答案：C6(2014吉安一模)抛物线y22px与直线2xya0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|FB|的值等于()A7 B3C6 D5解析：点A(1,2)在抛物线y22px和直线2xya0上，则p2，
5、a4，F(1,0)，则B(4，4)，故|FA|FB|7.答案：A7(2014宁波十校联考)设双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2()A12 B42C52 D32解析：如图，设|AF1|m，则|BF1|m，|AF2|m2a，|BF2|m2a，|AB|AF2|BF2|m2am2am，得m2a，又由|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，可得m2(m2a)24c2，即得(208)a24c2，e252，故应选C.答案：C8(2014辽宁大连一模)已知双曲线1的右焦点为F，若过点F的直
6、线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A(，) B(，)C， D，解析：由题意知，F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为yx.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图像，数形结合可知应选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)9直线l：x1与椭圆x21交于A，B两点，O为原点，则OAB的面积为_解析：l过椭圆的顶点(1,0)和(0,2)，SOAB211.答案：110(2014琼海一模，13)椭圆y21的弦被点(，)平分，则这条弦所在的直线方程是_解析：设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，y1y21.A，B在椭圆上，
7、y1，y1.(y1y2)(y1y2)0，即，即直线AB的斜率为.直线AB的方程为y(x)，即2x4y30.答案：2x4y3011(2014郑州一模)已知双曲线x21上存在两点M，N关于直线yxm对称，且MN的中点在抛物线y218x上，则实数m的值为_解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由得(x2x1)(x2x1)(y2y1)(y2y1)，显然x1x2.3，即kMN3，M，N关于直线yxm对称，kMN1，y03x0，又y0x0m，P(，)，代入抛物线方程得m218()，解得m0或8，经检验都符合答案：0或8三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分解答写出
8、必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)、(0，)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程；(2)设直线ykx1与C交于A、B两点，k为何值时？解：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，)，(0，)为焦点，长半轴为a2的椭圆，它的短半轴b1，故曲线C的方程为x21.(2)由消去y并整理得(k24)x22kx30，(2k)24(k24)(3)16(k23)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由，得x1x2y1y20.而y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)1，于是x1x
9、2y1y21.由0，得k，此时.13给出双曲线x21.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由解：(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x24，y1y22，所以直线斜率k4.故求得直线方程为4xy70.(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，
10、y2)，按照(1)的解法可得，由于P1，P2，P，A四点共线得.由可得，整理得2x2y24xy0，检验当x1x2时，x2，y0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2y24xy0.(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y2x1.考虑到方程组无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的14(2014临沂一模)在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|DM|，点P在圆上运动(1)求点M的轨迹方程；(2)过定点C(1,0)的直线与点M的轨迹交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在
11、，请说明理由解：(1)设P(x0，y0)，M(x，y)，则x0x，y0y.P(x0，y0)在x2y24上，xy4.x22y24，即1.点M的轨迹方程为1(x2)(2)假设存在当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(n,0)，联立方程组整理得(12k2)x24k2x2k240，x1x2，x1x2.(x1n，y1)(x2n，y2)(1k2)x1x2(x1x2)(k2n)n2k2(1k2)(k2n)k2n2n2n2(2n24n1).是与k无关的常数，2n0.n，即N(，0)，此时.当直线AB与x轴垂直时，若n，则.综上所述，在x轴上存在定点N(，0)，使为常数
