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1、高三数学综合题选讲综合题是高考中的一个重点内容，也是一个难点内容，它既是学科间内在联系和知识的综合，又侧重能力的综合；既有代数、立体几何、平面解析几何三支分科的综合，又拓展到与自然科学、社会科技的综合，甚至是初等数学与实际应用的信息、数据、图表、情景的综合在有限的复习时间内进行的高效的复习，关键在于科学地综合，把分科内网络化知识综合成学科内的立体化的知识思维网络比如，函数是高中数学的主线，它将不等式、数列、三角函数、解析几何中的曲线等知识串联起来，而且辐射到中学数学的每一部分内容，它是高中数学的重点知识用代数作为工具，研究几何问题，并扩展到更宽广的代数领域，已成为高考命题方向，将代数与几何融于
2、一体反映了数学各分科的交叉和整合，体现了数学知识网络化的思想，以及在知识网络交汇设计试题的高考命题特点这里分不清是用代数方法研究几何问题，还是用几何方法处理代数问题，有的只是代数与几何的完善结合这是考查综合运用数学知识能力和数学潜能的更高层次的要求高考是以知识为载体，方法为依托，能力为目的的考查复习时应注意：1切实掌握基础知识，提高解题操作技能2注重数学思想和方法的理解和掌握数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中高考试题中，对数学思想和方法的考查也蕴含在其中，很少直接表达数学思想包括：函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化数学思维方法主要
3、包括分析法、综合法、归纳法、演绎法、观察法、试验法、特殊化法等等，数学方法主要指配方法、换元法、待定系数法、比较法、割补法等一些具体方法3加强数学能力的培养和提高（1）学习新的数学知识的能力，这是指通过阅读理解以前没有学过的新的数学知识（包括新的概念、定理、公式、法则等），能运用它们作进一步的运算推理，解决有关问题的能力（2）探究数学问题的能力是指运用学过的数学知识通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等手段，对数学问题进行探索和研究的能力（3）应用数学知识解决实际问题的能力指正确理解问题的背景，分析实际问题给出的信息，进行提炼加工，建立相应的数学模型，运用所学的数学知识和数
4、学方法解决问题（4）数学创新能力指的是运用已知信息开展数学思维活动，并产生某些新颖的有创见的能力一、函数与不等式函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容之一，函数的基础知识有：定义域、对应法则、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值、极值等通过函数图象，加深对函数性质的理解，深化数形结合的思想不等式不仅是高中数学的重要内容，也是继续深造的重要基础，所以不等式一直都是高考命题的重点之一内容主要包括：不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法、不等式的应用不等式和数学其它模块联系紧密，是重要的数学工具，将基本不等式和实际应用问题相结合的数学综合题在高考中有加强的趋势1若时，不等式恒成立，求、的取值范围
5、分析：分离参数转化为求函数最值问题解：，当时，不等式成立；当时，记，（），则，又令，则，（）则，时，同理求得：说明：利用求导求最值运算较繁，应先考虑换元2如果不等式的解集为（），（其中），求不等式的解集分析：不等式问题与方程问题联系十分紧密，可考虑用韦达定理解题解：方法一由已知是的根， ，则 ，不等式即为，显然，方法二即为（原不等式中显然不成立），即，由已知，说明：方法一通过韦达定理消去了不等式中的参数，转化为与有关的问题方法二将不等式变形用代原不等式中的，求出的范围3已知函数，（1）求的最大值；（2）时，的解集为 解：（1）时，记，图象对称轴，在0，4上单调减，；时，；时，如果，即时，即时，
6、由于，时，时，时，时，又时，综上所述 （2）1x42O时，草图如下，由，可令得，又令得，由图可知：的解集为：说明：函数问题中出现参数和绝对值符号要较多层次地进行分类讨论，本题中引起讨论的原因有：对称轴位置、去除绝对值符号、两数大小关系等第2小题主要借助于数形结合的思想解决问题4设实数、使方程有实根，求的最小值解：原方程可化为， 容易证明，将（，）看作动点，方程表示一条直线，设原点到距离为，（记），取“=”时，此时，即或，此时或 ，综上的最小值为说明：本题也可用二次方程根的分布来解，在上述解法中变换主元使问题中参数、消去，简化了解题过程5如果函数，求最大的（），使得存在只要时就有解：时，恒成立，
7、即，即，即，即，对恒成立， 要使存在即，的最大值为9说明：本题也可由数形结合求解，但不易说理，这里用分离变量法得出不等式，再由的存在性求出的最大值6若对，恒成立，则的最小值为 解：问题即为，时，恒成立而，令，上式2（），2又令，则，上式，即时，说明：形如：的最值问题如果可用判别式法，如果在闭区间上求最值可用基本不等式或导数知识解之本题也可用基本不等式求的最值，而，（）从而可求出7已知函数（0），且没有实根，那么是否有实根？证明你的结论解：没有实根 由已知，而，无实根说明：在中必有因式也可以这样证明：若，无解，则恒成立，从而无实根，时，同理可证8设，求满足下列条件的实数的值：至少有一正数，使的定
8、义域和值域相同解：满足若，则或而，定义域与值域不一致；若，为正数时定义域和值域均为，满足题意；若，定义域为，时，即，综上所述或9设函数，有且（1）求、满足的关系；（2）证明：存在这样的，使解：由已知，由，由于可得：，消去即记，则，又在（3，4）连续，存在使，即存在这样的使10已知二次函数满足条件，且方程有两个相等的实数根（1）求的解析式；O1X3图1（2）是否存在实数，（），使得的定义域和值域分别是和？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由解：（1）由条件有又，即有两个相等的实数根，得故（2）存在如图1，设，则当解得：（舍去）因为，此时，所以故取，时，在上值域为符合条件练习：对一切xR，f(
9、x)=ax2+bx+c(ab)的值恒为非负实数，则的最小值为_.二、等差数列和等比数列等差数列和等比数列是高考中的热点问题，要熟练掌握其通项公式和求和公式，掌握等差数列和等比数列的性质，并会利用等差数列、等比数列定义解题对于等差数列，若公差不为0，其和可以表示为；对于等比数列，若公比1，其和可以表示为1设数列是等差数列，其前项和为（1）求证：数列为等差数列；（2）设各项为正，若存在互异正整数，满足；，求集合=1，的元素个数点拨：设数列公差，容易证明为等差数列从而可设对于（2）两边平方可整理得：，由于，（），又，若时，则，（）为（1，15），（3，5），（5，3），（15，1），即集合=1，共有
10、4个元素点评：由于，成等差数列，也成等差数列，因此中，符合题意2设数列的各项都是正数，且时恒有，其中为数列前项和（1）求证：；（2）求；（3）若，为非零常数，是否存在，使时恒有解：（1）由于， 2时， 由-可得：，即，由于，时，可求出，也成立，时，恒成立；（2）由于 2时， 由-得：，时，即，为等差数列，公差，又，；（3），如果存在使对恒成立，则，若为奇数，即，即对恒成立，若为偶数时，类似可知，从而，又0，且，说明：本题中出现最多的字眼是“恒成立”，等式恒成立可以理解为在运动变化中保持某种不变性，即“动中求静”不等式恒成立首先考虑分离参数，转化为求函数式的最大值（或最小值），可以说“以静止动”
11、，对于这类数学问题我们要用辩证法的眼光来认识，另外如果，它是满足的3已知数列和满足求证：是等差数列的充要条件是成等差数列解：（1）先证必要性：若是等差数列，可设，则 （）从而2时，成等差数列（2）再证充分性：若是等差数列，设（为公差），由可得： 以代可得： 由-得：，即，将代入上式可得：2时，而=1时，也满足，时，从而2时，成等差数列综上所述，是等差数列的充要条件是是等差数列说明：首先要弄清这里充分性和必要性分别是什么，其次要回到等差等比数列定义解决问题练习：各项都是正数的数列中，若前项和满足，求数列的通项公式（）4给定正整数和正数，对于满足条件的所有等差数列，试求的最大值解：由等差数列的性质
12、：，由于，由柯西不等式：，取“=”时：，为最大值，即说明：本题也可用三角换元求解：，其中，如果用解之也可以，但配凑较为复杂，用等差数列性质将条件向，集中解题较为简捷5设是由正数组成的等比数列，是其前项和（1）证明：；（2）是否存在常数，使得对恒成立，并证明你的结论解：（1）若等比数列公比为，时，即；1时， ，要证不等式成立，只要证明由基本不等式知上式成立，（2）假设存在使等式恒成立时，则由可得，即与矛盾1时，则，展开整理得：，由于， 又，从而，又，由，即矛盾所以不存在常数使成立说明：对于等比数列求和问题，要对与1进行讨论，这里还要注意真数大于06（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若
13、将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当时，求的数值；求的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用（1）当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0 若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与
