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1、1. 设点O是平面上正多边形A1A2An的中心，证明:+.证明：因为l,l,+l,l,所以 2(+)l(+),所以 (l2)(+).显然 l2, 即 l20. 所以 +.2. , 是三个两两不共线的矢量，且l+m，试证A, B, C三点共线的充要条件是l+m1. 证明：“ ”因为 A，B，C共线，从而有/,且有m1, 使m,m (),(1+m)m,.但已知lm. 由对, 分解的唯一性可得l, m从而 l+m+1. “” 设l+m1. 则有lml(1l)=+l(),l(),所以 l,从而 /.故 A，B，C三点共线.3. 四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心
2、距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.证明：设四面体A1A2A3A4,Ai对面重心为Gi, 欲证AiGi交于一点(i1, 2, 3, 4).在AiGi上取一点Pi，使3, 从而，设Ai (xi, yi, zi)(i1, 2, 3, 4)，则G1,G2,G3,G4,所以P1(,)P1(,).同理得P2P3P4P1，所以AiGi交于一点P，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的三倍.4. 用矢量法证明三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.5. 设径矢, , , 证明 ()()()垂直于ABC平面. 证明:由于 =,所以 .同理可证 .所以 平面ABC.6. 已知：连接两点的
3、线段平行于平面，求里的坐标.解： 而平行于由题3知：从而.7. 已知四面体的四个顶点为，计算从顶点向底面ABC所引的高。解：地面ABC的方程为：所以，高。8. 通过直线向三坐标面所引的三个射影平面。解：由已知方程分别消去，得到：，此即为三个射影平面的方程。9. 给定两异面直线：与，试求它们的公垂线方程。解：因为，公垂线方程为：即，亦即。10. 求过三条平行直线的圆柱面方程。解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为，这三点所定的在平面上的圆的圆心为，圆的方程为：此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点，且方向为的直线方程为：将此式代入准线方程，并消去得到：此即为所求的圆柱面的方
4、程。11. 已知锥面的准线为，顶点决定的径矢为，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：与式中，为参数。证明：对锥面上任一点，令，它与顶点的连线交准线于，即。，且（顶点不在准线上）即,亦即此为锥面的矢量式参数方程。若将矢量式参数方程用分量表示，即：此为锥面的坐标式参数方程，为参数。12. 将直线绕轴旋转，求这旋转面的方程，并就可能的值讨论这是什么曲面？解：先求旋转面的方程式：任取母线上一点，过的纬圆为：又 （3）从（1）（3）消去，得到：此即为所求旋转面的方程。当时，旋转面为圆柱面（以轴为轴）；当时，旋转面为圆锥面（以轴为轴，顶点在原点）；当时，旋转面变为轴；当时，旋转面为单叶旋转双
5、曲面。13. 由椭球面的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面，设，试证：证明：利用上题结果，有其中是的方向余弦。若将所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则是坐标矢量关于新坐标系的方向余弦，从而，同理，所以，即：14. 设直线与为互不垂直的两条异面直线，是与的公垂线的中点，两点分别在直线，上滑动，且，试证直线的轨迹是一个单叶双曲面。证明：以，的公垂线作为轴，作为坐标原点，再令轴与，的夹角均为，公垂线的长为，若设，则，的方程分别为：令，则有：又，所以：亦即 （2）又设为上任一点，则 (3)从（1）（3）中消去，得：即： (4)不垂直，（4）表示单叶双曲面，即的轨迹是一单叶双曲面。15. 求
6、与下列三条直线， 与都共面的直线所构成的曲面。解：动直线不可能同时平行于直线及直线不妨设其与第一条直线交于注与第二条直线的平面为：过与直线的平面为动直线的方程为：从上式中消去参数，得：16. 已知空间两异面直线间的距离为，夹角为，过这两条直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为轴，公垂线的中点为原点，让轴与二异面直线夹角相等，则二直线方程为： 与 过这两直线的平面为：二平面的交线为： （1） （2）当二异面直线不直交时，从（1）（2）中消去，得： 单叶双曲面此为要求的轨迹方程。当二异面直线直交时，则，此时，（1）（2）变为： 当时，
7、为它的轨迹为平面。当时，为它的轨迹为平面从而当二异面直交时，动直线（1）的轨迹为二平面：与 17. 已知相互垂直的三条直线,试求以这三条直线为新坐标轴的坐标变换公式.提示: 三直线相交于点. 取三直线的方向向量, 要求构成右手系并将它们单位化, 这样便得到新坐标系的三个坐标向量. 坐标变换公式为18. 求二次曲面特征方程的特征根.提示：特征方程的特征根为1,2,4;19. 求曲面的主方向.提示： 特征根对应的主方向为,特征根对应的主方向为, 特征根对应的主方向为.20. 用旋转变换化简下列方程, 并写出坐标变换公式.解： 二次曲面的特征根为1,1,10. 与二重特征根1对应的主方向平行于平面
8、, 可选取, . 与特征根10对应的主方向. 经旋转变换.原方程化简为;21. 化简二次曲面方程为标准形式, 并指出曲面形状.解： 简化方程, 标准方程,双叶双曲面.22. 求曲面,是旋转曲面的条件.解: , ,. 特征方程是, 即. 特征根为.由不变量表示二次曲面的简化方程可看出, 二次曲面为旋转曲面的条件是特征根有非零重根. 据此, 需(即不全相等), 且或. 而因此原方程表示旋转曲面的条件是23. 证明二次方程表示圆柱面的条件是, , .证明: 若表圆柱面, 则标准方程为.此时, , 且, 并且可推得. 反之, 若, , , 则特征方程为, 即, 它的一个特征根为0, 又有重根, 因判别
9、式. 记二重特征根为, 显然, 于是我们有标准方程.又由和知, 它表示圆柱面.24. 求二次曲面族的中心的轨迹方程, 其中是常数, 且, 又为参数.解: 由中心方程组消去得. (1) 当时, 中心的轨迹是以为中心的单叶双曲面, 其虚轴平行于轴; (2) 当时, 所求轨迹是以为中心的椭球面;(3) 当时, 轨迹是以为中心的单叶双曲面, 其虚轴平行于轴.25. 二次曲面通过点, 并且主径面是下列三个平面: , 求这个曲面的方程.解: 二次曲面的三个主径面两两垂直, 说明曲面是中心曲面. 将三个主径面作为新坐标系的坐标平面, 作坐标变换点在新系下的坐标分别为.因为曲面是中心曲面, 可假定在新系下的方程为,将点代入上述方程, 得解得, 于是式为,将式代入上式, 得所求曲面方程为.26. 试证中心二次曲面(除锥面外)的切平面平行于切点与中心连线方向的共轭径面.证明: 设中心曲面的方程为, 中心为(0,0,0). 过点的切平面方程为, 又切点与中心连线的方向为, 与它共轭的径面方程为, 可见该径面与切平面平行
