电子在阱内任何位置出现的概率也是相等的然而，按照量子力 学观点，它的行为却不是这样的1)定态薛定谔方程的解电子所受的保守力 刃&，在边界处电子所受的力无限大,指向阱内，意味着电子不可能越出阱外，由波函数物理意义可知势阱外波函数 幣电子在势阱内势能为零，受力为零势阱内定态薛定谔方程为JL 2 12= (23.3.2)方程变为其解为根据波函数应满足的标准化条件，波函数应在边界x=0和x=a上连续$ = Cl, ka =很码 总=1, 2, 3,应用归一化条件l%3 sm蚣砥叮丫 sin=10 加 僅求得于是定态波函数为用'(X)« = 1, 2, 3,・・・ 0 < x < a(23.3.4)⑵能量量子化因ka = n^，合并(23.3.3)式，即得到一维无限深势阱中的电子能量(23.3.5)E = = En 旳=1, 2, 3, -■2m 2maE、=9 Ei心-Wfl上式表明：电子的能量不能连续地取任意值，只能取分立值，即能量是量 子化的，可形象地称为处于相应的能级（如右图所示）23.3.5）式中n称为能量 量子数，En为本征能量在这里，能量量子化不像早期量子论那样是作为假设 提出来的，而是求解薛定谔方程的必然结果。
如果n =0，则E=0，动量p=0，即动量不确定度为0,而坐标的不确定 度为a,这就违反了不确定关系所以n =0的状态不存在，n最小必须为1，此时电子的能量称为基态能量，它又被称为零点能相邻能级间的间隔(23.3.6)(23.3.7)疋护(加十T)2ma2对于很小的n值即低能级状态，电子的能量间隔A^甚至可能大于能级 En本身，这时量子化特征非常显著，经典力学完全不适用随着n值增大，电 子能量间隔的绝对值虽然也增大，但比起能量本身则要小些，即相对变化量 (23.3.7)式逐渐变小当 时，能量量子化现象几乎消失，能级分布可视为连续变化，这时经典力学与量子力学的结论一致⑶ 电子的波函数和位置概率分布电子的定态波函数((23.3.4)式中的第二式)是与能量本征值En对应的 能量本征函数能量量子数n从1至，它们组成完备的集合可以证明：任 何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开所谓叠加态，就是各 本征态以一定的几率、确定的本征值、独立完整的存在于其中实验上物理量的 测量值，是叠加态中可能的本征态的本征值按其本征态出现的几率来计算的平均 值令乱二心吐孔，电子在势阱中的含时波函数可写为(23.3.8)这样，波函数就可以看成是两列沿x轴相反方向传播的单色平面波的叠 加。
由样二卫”九及札二巩肚得a = = ^— Yi = 1,2,3,■■- (23.3.9)外 2憑=h/p-为德布罗意波长上式即为在长度为a的一维弦线上形成驻波的条件, 因此电子在势阱内的波函数在两势阱壁间形成驻波电子在阱内不同位置出现的概率是不相等的，各处的概率密度为卄快㈤『=-sin 2 —a (23.3.10)a a势阱中德布罗意驻波波腹处出现的概率最大，波节处，电子出现的概率为零。