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1、1甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校 2012 年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和 文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格因为甲， 乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙， 丙三人文化测试合格的概率分别为 0.6,0.5,0.75.(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率； (2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率2乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次， 依次轮换每次发球，胜方得1
2、分，负方得0分设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1 分的概 率为 0.6，各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中，甲先发球(1)求开始第4 次发球时，甲、乙的比分为1比2 的概率；(2)d表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.3某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核.若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为8的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过2，且他直到参加第二次考核才合格的概率为32.(1) 求小李第一次参加考核就合格的概率 P ；1(2) 求小李参加考核的次数X的分布列和数学期
3、望E(X).1解(1)分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件A，A，A记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核为事件123B,贝VP(B) =P(A A A )+ P( A A A )+ P( A A A ) =0.5 X0.4X0.6 + 0.5X0.6X0.6 + 0.5X0.4X0.4123123123= 0.38.(2)分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件C，D，E,记甲，乙，丙三人中至少有两人 获得自主招生入选资格为事件 F，则 P(C) =P(D) =P(E) =0.3， .p(F) =02X0.32X0.7 + 03X0.33 = 0.189 + 0.027 = 0.216.3
4、32解 记Aj表示事件：第1次和第2次这2次发球，甲共得i分，i = 0,1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.(1) B=A A+A A ，01P(A)=0.4， P(A)=0.42=0.16， P(A)=2X0.6X0.4=0.48，01P(B) =P(A A+A A )01= P(A A) + P(A A )01= P(A)P(A)+ P(A)P( A )01=0.16X0.4+0.48X(10.4)= 0.352.(2)P(A)=0.62=0.36.2d的可能取值为0,1,2,3.P(d=0) =P(A A) =P(A)P(A)
5、=0.36X0.4 = 0.144,P(d=2) =P(B) =0.352,P(d=3) =P(A A ) =P(A)P( A ) =0.16X0.6 = 0.096,00P(Q1) =1P(QO)P(Q2) PD= 10.144 0.352 0.096= 0.408.EG) =0XP(Q0) + 1XP(Q1) + 2XP(Q2) + 3XP(Q3)= 0.408 + 2X0.352 + 3X0.096=1.400.3.解由题意得(1匚)(卩1+y=w，P1=t或|.VP11，AP1=?537由知小李4次考核每次合格的概率依次为8, 4, 8 1，59所以 p(x=1)=8, p(x=2)=
6、32,P(X = 3)=(1 P(X = 4)=(1 721X8 = 2563X1=256所以X的分布列为59213379E(X)=1X8+2X32+3X256+4X236=256.X1234P59丄8322562564. 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保 险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立(1)求该地1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率； (2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.解 记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险;B 表示事件：该地的1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C
7、 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;D 表示事件：该地的1 位车主甲、乙两种保险都不购买.(1)P(A) =0.5， P(B) =0.3， C=A+B，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.(2)D= C , P(D) =1P(C) =10.8 = 0.2,XB(100,0.2)，即X服从二项分布，所以期望 E(X) =100X0.2 = 20.5. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时 刻发生故障的概率分别为寺和P.(1) 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49,求p的值；(2) 设系统A在3次相互独立
8、的检测中不发生故障的次数为随机变量乙求d的概率分布列 及数学期望E(d).149设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1P(C)= 1击p=50,解得p= 1.(4 分)(2)由题意，p(d=0)=C；)3=p000， P(d=1) =C3(d(1-=10， Pg)盒(制=為，(1A 729陀=3)=心捕3 =贡(8分) 所以，随机变量d的概率分布列为d0123P1272437291 0001 0001 0001 000故随机变量d的数学期望：、1,27,243 ,72927(d) =0X1 000+1X1 000+2X1 000 + 3X1 000=10.6. 某同学参加科普知识竞赛，
9、需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回 答不正确得100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相 互之间没有影响.(1) 求这名同学回答这三个问题的总得分d的概率分布和数学期望.(2) 求这名同学总得分不为负分(即d0)的概率.解(1)d 的可能取值为一300，100,100,300.P(d=300)=0.23=0.008，P（d= 100） =3X0.22X0.8 = 0.096,P（d=100） =3X0.2X0. 82=0.384,P（d=300） =0.83 = 0.512.所以d的概率分布为d 300 100100300P0.0080.09
10、60.3840.512根据d的概率分布，可得d的期望 Ed=(300)X0.008(100)X0.096100X0.384300X0.512=180.(2) 这名同学总得分不为负分的概率为P(d0) =0.384+0.512 = 0.896.7. 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间/分12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时( 1 )估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.解
11、设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下:Y12345P0.10.40.30.10.1(1) A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形： 第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟； 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟； 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1X0.3+0.3X0.1+ 0.4X 0.4= 0.22.(2) 法一 X所有可能的取值为0,1,2
12、.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以 P(X=0)=P(Y2)=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y1)+P(Y =2)=0.1X0.9+0.4=0.49；X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为1 分钟，所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1X0.1 = 0.01；X012P0.50.490.01所以X的分布列为E(X)=OXO.5 + 1XO.49+2XO.O1 = O.51.法二X的所有可能取值为0,1,2.X=0对
13、应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟, 所以 P(X=0)=P(Y2)=0.5；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=O.1XO.1 = O.O1；P(X=1) =1P(X=0) P(X=2) =0.49；所以X的分布列为X012P0.50.490.01E(X)=0X0.51X0.492X0.01=0.51.2. (2011浙江高考，理15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公2司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为3,得到乙、丙两公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为 该毕业生得到面
14、试的公司个数.若P(X=0)=丄，则随机变量X的分布列及数学期望E(X)解析由 P(X= 0) =所以x (1p) x (1p)=得P=|，所以x的布列如下：X0123P12 11113X2X2+3X2X2 1 1 , 2 1 1 , 13X2X2+3X2X2+32 1111211111+ x X232 231 15xx_=一2 212X X 32 2611515所以 E(x)= 0 X 12 I 1 X 3+ 2 X12+ 3 X 6=3.5. (2011.辽宁高考，理19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验选取两大块地，每大块地分 成 n 小块地，在总共 2n 小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外 n 小 块地种植品种乙假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X,求X 的分布列和数学期望；(2)试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙 在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：品种甲40339
