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1、函数与图形一、知识要点概述(一)函数有关概念1、常量：在某一变化过程中保持不变的量2、变量：在某一变化过程中可取不同数值的量3、函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量4、函数的表示方法5、画函数图象的步骤：列表；描点；连线，通常称为描点法6、函数自变量的取值范围(二)平面直角坐标中点的坐标特征3、平行于坐标轴的直线上的点(1)平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；(2)平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同4、对称点的坐标：(1)点P(a，b)关于x轴的对称点坐标是P1(a，b)即横坐标相同，纵坐标互为相反数
2、(2)点P(a，b)关于y轴的对称点坐标是P2(a，b)即横坐标互为相反数，纵坐标相同(3)点P(a，b)关于原点的对称点坐标是P3(a，b)即横、纵坐标都互为相反数5、各象限角平分线上的点(1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数6、点与原点、坐标轴的距离(1)点P(a，b)与原点的距离是(2)点P(a，b)与x轴的距离是|b|(即其纵坐标的绝对值)(3)点P(a，b)与y轴的距离是|a|(即其横坐标的绝对值)二、典型例题剖析例1、现有点M(1a，2b1)在第二象限，则点N(a1，12b)在第_象限分析：本题主要考查各象限内点的坐标
3、符号特征由于点M在第二象限，所以N点在第三象限例2、点A(1，m)在函数y=2x图象上，则点A关于y轴的对称点的坐标是(_，_)分析：把A(1，m)代入函数式y=2x中，求m=2，则A(1，2)，再根据对称点的符号规律求A点的对称点坐标解：(1，2)例3、已知两圆的圆心都在x轴上，A、B为两圆的交点，若点A的坐标为(1，1)，则点B的坐标为（）A(1，1)B(1，1)C(1，1)D无法求出分析：由于圆是轴对称图形，故两圆的两个交点A，B关于x轴对称解：选A例6、下列各组的两个函数是同一函数吗？为什么？(1)y=x和(2)y=x2和S=r2(其中x0，r0)(3)y=x2和分析：判断两个函数是否
4、为同一函数：要判断两个函数的自变量取值范围是否相同；要判断自变量与函数的对应规律是否完全相同解：(1)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x0的实数；(2)是同一函数，因为它们的自变量的取值范围相同，而且自变量与函数的对应规律完全相同；(3)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x2例7、在函数中自变量x的取值范围是_分析：求函数式中自变量的取值范围的一般思路是：函数解析式中的分母不能为0；偶次根式的被开方数应为非负数；零指幂和负整指数幂的底数不能为0此题中，自变量x应满足解：x1且x2一次函数与反比例函数的图形和性质一、知识要点概述（
5、一）一次函数1、一次函数的定义：形如y=kxb(k，b为常数且k0)的函数叫一次函数2、正比例函数的定义：y=kx(k0)叫正比例函数正比例函数是一次函数的特例3、一次函数的图象是一条经过及(0，b)的一条直线4、一次函数的性质：当k0时y随x的增大而增大 当k0时y随x的增大而减小5、一次函数y=kxb的图象与k、b的符号关系表k、b的符号草图经过的象限k0，b0直线经过第一、二、三象限k0，b0直线经过第一、三、四象限k0，b0直线经过第一、二、四象限k0，b0直线经过第二、三、四象限（二）反比例函数1、反比例函数定义：形如叫做反比例函数自变量的取值范围是x02、反比例函数的图象是双曲线3
6、、反比例函数的性质(1)当k0时，图象的两分支分别在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小(2)当k0时，图象的两分支分别在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大（三）基本规律1、确定一次函数的解析式，通常采用待定系数法，由题目已知条件得到关于k，b的二元一次方程组，再求出k，b2、对于直线l1：y=k1xb1，与l2；y=k2xb2 当l1l2时，k1=k2且b1b2，反之当k1=k2且b1b2时，l1l23、画一次函数的图象时通常只需描出图象上任两点的坐标，再过这两点画一条直线，一般画出直线y=kxb与两坐标轴的交点和(0，b)，正比例函数图象过(0，0)和点(1，k)4、反比
7、例函数的图象是断开的，产生的原因是自变量的取值范围是x0，这两条曲线可以无限地接近x轴、y轴，但永远不会与x轴、y轴相交双曲线是关于原点成中心对称的，也是轴对称的5、过双曲线上任一点向x轴或y轴引垂线，并连接该点与原点，得到直角三角形，这个直角三角形的面积与点的位置无关，是一个定值为这一结论常常用到，应特别记住二、典型例题剖析例1、(1)若函数是一次函数，则m=_ (2)已知m是整数且一次函数y=(m4)xm2的图象不经过第二象限，则m=_点评：(1)一次函数y=kxb中k0这一条件不能忽视(2)直线y=kxb不过第二象限的条件要特别注意，此时直线经过第一、三象限是正比例函数例2、已知一直线经
8、过点A(1，1)和B(1，5)求直线AB的解析式分析：直线的解析式可设为y=kxb，因为k，b待定，由直线过A(1，1)和B(1，5)可以确定直线AB的解析式为y=3x2点评：求函数的解析式可采用待定系数法，这样把求函数的关系转化为解二元一次方程组的问题来解决，用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤为：(1)设函数的解析式为y=kxb(k0)(2)将已知点的坐标代入函数的解析式，得出方程组(3)求k，b的值，得函数的解析式例3、已知关于x的函数y=k(x1)和它们在同一坐标系的图象大致是（）ABCD 解：选B按比例系数的性质进行分类讨论当k0时双曲线在第二、四象限，而直线y=k(x1)在第一
9、、三、四象限，故只有选B3例8、已知反比例函数的图象上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且当x10x2时有y1y2，则m的取值范围是（）解：选C由x10x2时有y1y2知12m0，例9、某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：运输工具运输费单价(元/吨千克)冷藏费单价(元/吨小时)过路费(元)装卸及管理费(元)汽车252000火车501600注：“元/吨千米”表示每吨货物每千米运费；“元/吨小时”表示每吨货物每小时冷藏费(1
10、)设该批发商待运的海产品有x(吨)，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1(元)和y2(元)，试求y1和y2与x的函数关系式(2)若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选哪个货运公司承担运输业务？分析：这是一道图表信息题，决策题型，读懂题意，列出两个函数关系式是关键解：(1)根据题意有(2)当y1=y2即222x1600=250x200，解得：x=50；当y1y2即250x200222x1600，解得：x50；当y1y2即250x200222x1600，解得x50.当所运产品刚好50吨时，选汽车公司或铁路货运公司中的任意一家均可；当所运产品不少于30吨且不足50吨时，
11、选择汽运公司，当所运海产品多于50吨时，应选择铁路货运公司饿二次函数的图形和性质知识要点概述1、二次函数的定义：如果y=ax2bxc(a、b、c为常数，a0)，那么y叫x的二次函数2、二次函数的图象：二次函数y=ax2bxc的图象是一条抛物线3、二次函数的解析式有下列三种形式：(1)一般式：y=ax2bxc(a0)；(2)顶点式：y=a(xh)2k(a0)；(3)交点式：y=a(xx1)(xx2) (a0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键4、抛物线y=ax2bxc中系数a、b
12、、c的几何意义抛物线y=ax2bxc的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向a0，抛物线开口向上，a0，开口向上；a0时，函数在x=h处取最小值y=k；当a0时，函数在x=h处取最大值y=k6、抛物线y=a(xh)2k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(xh)2k与y=ax2的形状相同，位置不同前者是后者通过“平移”而得到要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式7、抛物线y=ax2bxc与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2bxc=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)典型剖析例1、已知二次函数y=ax2bxc的图象如图所示下列结论：abc0；abc
13、0；b=2a其中正确结论的个数是（）A4B3C2D1解：选A令x=1及由图象知abc0，正确；由对称轴知，正确；由知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c0，故正确所以选A例3、已知抛物线y=x2(2m4)xm210与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点(1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若AB的长为，求抛物线的解析式解：(1)y=x2(2m4)xm210=x(m2) 24m14，顶点C的坐标为(m2，4m14)(2)A、B是抛物线y=x2(2m4)xm210与x轴的交点且|AB|=， 化简整理得：16m=48，m=3当m=3时，抛物线y=x22x1与x轴有交点且AB=，符
