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1、近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考 察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如下面就平面 向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上.例1已知0是平面上一 定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足:则P的轨迹一定通过AABC(A 外心B 内心C 重心D 垂心解析：如图1,以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则船+曲=恥，因为AD = 2AE所以，上式可化为E在直线AP 上,因为AE为 W 的中线，所以选C.
2、点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及 三角形重心性质等相关知识巧妙结合.二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上卩是厶ABC所在平面上一点，若PAPB = PBPC=PCPA，则卩是厶ABC的（D.垂心，则动点P定过AABC的.A、重心B、垂心C、外即巨玄（卫2頁即巨玄cS=o则PB丄UA,同理已丄BC.PC丄卫E所以P为MBC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三 角形垂心定义等相关知识将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两 向量所在直线垂直”等相关知识巧
3、妙结合.三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.例3已知卩是厶ABC所在平面内的一动点，且点P满足QP = QAA ，丸忘D、内心解析：如图2所示，因为旧耳是向量忑的单位向量设而与丽方向上的单位向量 分别为切和勺，又矛-刃二码则原式可化为肚二视1F），由菱形的基本性质 知AP平分/釧C ,那么在口配 中，AP平分/测C，贝y知选B.AB点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先I是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、 向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，
4、又能迅速地将它们迁 移到一起，这道题就迎刃而解了.四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线 线上.例4已知0是4ABC内的一点，若，则0是4ABC的.A.重心B.垂心C.外心D.内心解析:斎斗刃f帀律方f,帀J页幕冋冃辰冃元|，由向量模的 定义知。到 W 的三顶点距离相等故。是的外心，选c.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而 且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三 角形的
5、“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特 殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我 们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： 设九w（0,+x）,则向量九（+）必平分ZBAC，该向量必通过AABC的内心；門門 设入w（0,+x）,则向量九（）必平分ZBAC的邻补角IAB网,则向量九（ABAB cos BACAC cos C）必垂直于边BC,该向量必通过AABC的垂心 AABC中AB + AC 一定过BC的中点，通过AABC的重心* O * 0 点O是厶ABC
6、的外心 o OA2 = OB2 = OC2F 点O是厶ABC的重心 o OA + OB + OC = 0点O是厶ABC的垂心oOA OB = OB OC = OC OA点O是厶ABC的内心a OA + b OB + c OC = 0（其中a、b、。为厶ABC三边）aOA + bOB + cOCOI =a+b+c并且重心GX+X.+XABC3Y +Y+YABC内心IaX+ bX+ cXABC a+b+cayA+ by+ cyCABC i a+b+c例1： （2003年全国高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动AB ac点P满足OP = OA +九（+），九丿,则动点P的轨迹
7、一定通过AABC的（）阿 IACI（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心ABAC、事实上如图设AE =, AF = 都是单位向量IABIACI易知四边形AETF是菱形故选答案B例 2：（2005 年北京市东城区高三模拟题）O为AABC所在平面内一点，如果OA OB = OB OC = OC OA，则0必为AABC的（ AABC的外心O、重心G、垂心H共线，即OG OH 设OABC所在平面内任意一点，ABC的重心，I ABC的内心,1则有 OG = 3(OA + OB + OC)(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心事实上 OA OB = OB OC n (OA OC) OB = 0
8、n CA OB = 0 n OB 丄 CA 故选答案D例 3：已知 O 为三角形 ABC 所在平面内一点，且满足OA2 + |BC|2 = OB2 + |c| 2 = pc|2 + |AB|2，则点 o 是三角形 abc 的（）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心事实上由条件可推出OA - OB = OB - OC = OC - OA故选答案D例4：设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足OP = OA +九（AB+ AB cos B AC cos C）,九w（0,+3）,则动点P的轨迹一定通过AABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心 （D）垂心ABAC+:
9、事实上九（一) BC =九(-BC + BC) = 0AB cos B AC cos C故选答案 D例5、已知向量OP, OP, OP满足条件123OP + OP + OP = 0 ，123I OP I=I OP I=I OP 1= 1，求证： PPP 是正三角形.1231 2 3分析 对于本题中的条件I OP 1=1 OP 1=1 OP |= 1，容易想到，点O是厶PPP的1231 2 3外心，而另一个条件OP + OP + OP = 0表明，点O是厶PPP的重心.1 2 3 1 2 3故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形在 1951 年高考中有一道
10、考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的显然，本题中的条件IOP 1=1 OP 1=1 OP 1= 1可改为IOP 1=1 OP 1=1 OP I1 2 3 1 2 3高考原题例6、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 AB ACOP = OA +九） 九w 0, +8）.则P的轨迹一定通过AABC的（）I AB I I AC IA.夕卜心B内心C重心D垂心1AA分析已知等式即Ap (需|+为)，设ae=鑰,af=为，显然AE, AF都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP为上ABC的平分线，选B
11、例7、AABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H , OH 二 m(oA + OB + OC)，则实数 m =分析:本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂, 更加重要的一点是缺乏几何直观解法如下，由已知，有向量等式AHBC二0, 将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有(OH - OA)(OC - OB)= 0，将已知 代 入， 有 m (OA + OB + OC) - OA(oC - OB) = 0, 即m(OC2 -OB2) + (m- 1)O.bC = 0,由 O 是外心，得(m- 1)O.BC = 0 ,由于 AABC 是任意三角形，则OABC不恒为0,故
12、只有m = 1恒成立.或者，过点0作OM丄BC与M ,则M是BC的中点，有OM = |(0B + OC)； H是垂心，贝U AH丄BC , 故AH与0M共线，设AH二k0M , 则 0H = 0A+ah = 0A+|(0B+Oc), 又 0H = m(0A + 0B+0C), 故可得k kk(m一 1)0A + (m- )0B + (m- )0C = 0，有m一 1 = m- = 0，得m = 1 2 2 2根据已知式子oh二m(0A + 0B+Oc)中的0A+oB+oC部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G, 0是平面内任一点，均有OG =3，由题意，题目显然叙述的是一个一
13、般的结论，先作图使问题直观化，如图1, 由图上观察，很容易猜想到HG = 2G0,至少有两个产生 猜想的诱因 其一是 BF,OT 均与三角形的边 AC 垂直 则 BF /OT ；其二 点 G 是三角形的中线 BT 的三等分点.此时，会先猜想BHGTOG ,但现在缺少一个关键的条件，即 BH = 2OT，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得 相似当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O、G、H分别是 ABC的外心、重 心和垂心，则O、G、H三点共线，且OG：GH=1：2,利用向量表示就是OH = 3OG例8、点o是三角
14、形ABC所在平面内的一点，满足OAOB = OBOC = OCOA,则点O是AABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点八、C.三条中线的交点D.三条高的交点分析 移项后不难得出，COBCA = OC.AB = OAC = 0,点 o 是aabc的垂心,选D3 推广应用题例9 在AABC内求一点P，使AP2 + BP2 + CP2最小.分析 如图2,构造向量解决取CA二a,CB二b为基向量，设CP = x，有 AP = x - a, BP = x - b 是，AP2 + BP2 + CP2 = (x一a)2 + (x一b)2 + x = 3x一 1(a + b)2 + a2 + b2 一 1(a + b)2 .当 x = -(a + b)时，AP 2 + BP 2 + CP 2 最小，此时，即 OP = -(OA + OB + OC),33则点PABC的重心.例 10 已知O为AABC所在平面内一点，满足I OA |2 +1 BC |2 =1 OB |2
