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1、课时授课计戈I课次序号：_8一、课题：矩阵的初等变换与初等矩阵二、课型：课堂讲授三、目的要求：熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价 的概念。知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系。掌握用初等变换求可逆矩阵 的逆矩阵的方法。四、重点、难点：矩阵初等变换的方法；用初等变换求逆矩阵的方法。五、教学方法及手段：采用课堂讲授的方法，并以多媒体课件辅助。六、参考资料：线性代数学习辅导与习题选解，同济大学应用数学系编，高等教育出版社线性代数学习与考试指导，赵树源编，中国人民大学出版社工程数学例题与习题，工程数学课程教学指导委员会本科组编，高等教育出版社七、作业：P79l(1)(
2、3),4八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析:十、教学进程（教学内容、教学环节及时间分配等）1、复习回顾高中阶段用消元法解线性方程组所用到的几种运算。2、导入课题矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算， 它在解线性方程组， 求逆矩阵及矩阵 理论的探讨中都可起到重要的作用。为引进矩阵的初等变换，先来回忆一下以前所接触 的用消元法解线性方程组。在用消元法解线性方程组的时候，用到三种变换，即：交换方程的次序；以不等于零 的数乘某个方程；一个方程加上另一个方程的 k 倍。由于这三种变换都是可逆的，所以 变换前后的方程组是同解的。在上述变换过程中， 实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并
3、没有参与运 算。因此把线性方程组的系数和常数放在一个数表里，构成方程组的增广矩阵，即 B A, b ，那么上述对方程组的变换完全可以转化为对增广矩阵的变换。把方程组的 上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换。3 、教学内容定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调两行（对调 i, j 两行，记作 ri rj ）（2）以数 k 0乘某一行中的所有元素（第 i 行乘 k ，记作 ri k ）（3）把某一行中所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行的倍加到第i行 上，记作 ri krj ）把定义中的行换成列， 即得矩阵初等列变换的定义。 初等行变换与初等列变换统称初
4、 等变换。显然，三种初等变换都是可逆的，而且其逆变换是同一类型的初等变换。如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A和B是等价的，记作A: B矩阵之间的等价关系具有下列性质：（ 1）反身性A: A；（2）对称性 若A: B,则B : A ；（3）传递性 若A: B,B: C,则A: C。定义：矩阵A称为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零 元，也就是非零行的第一个非零元。行阶梯形矩阵B称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0。对行最简形
5、矩阵再进行初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准型ErOmn0例 1 ：设 A32102 ,把（代E）化成行最简形021100解：（A,E）302010230001302010302010:021100:02110009402300194630018912100634:020846:010423001946001946上式最后一个矩阵即为矩阵(A,E)的行最简形。矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算， 它有着广泛的应用。 下面我们进一步介 绍一些有关知识。定义 2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵。1. 对调两行或对调两列把单
6、位矩阵中第 i,j 两行（列）对调，得初等矩阵1O10L11E(i,j)MOM11L01O1用m阶初等矩阵Em（i，j）左乘矩阵A （aij）mn,得a11a12La1nMMMa j1aj2La jnEm(i, j)AMMMai1ai2LainMMMam1am2Lamn其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把 A的第i行与第j行对调。类似的, 以n阶初等矩阵En（i, j）右乘矩阵A，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换。2. 以数 k 0乘某行或某列以数k 0乘单位阵的第i行(或第列)1O1E(i(k)k第 i 行1O1可以验知：以Em(i(k)左乘矩阵A，其结果相当于以数k乘A的第
7、i行；以En(i(k)右乘矩 阵A，其结果相当于以数k乘A的第j列。3. 以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去以k乘E的第j行加到第i行上或以k乘E的第i列加到第j列上，得初等矩阵1O1 LkE(ij(k)OM1O1可以验知：以Em(ij(k)左乘矩阵A，其结果相当于把 A的第j行乘k加到第i行上，以 En(ij(k)右乘矩阵A，其结果相当于把A的第i列乘加到第j列上。综上所述，可得下述定理。定理1 设A是一个m n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在 A的左边乘以 相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的n阶初 等矩阵。因为初等变换是可逆的，所以其对应的初
8、等矩阵也是可逆的，并且E(i,j) 1E(i,j),E(i(k) 1 E(i(p),E(ij(k) 1 E(ij( k)定理2 方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵R,F2丄，R，使A PP2L R.(证明略)推论1 方阵A可逆的充要条件是A: E。推论2 m n矩阵A与B等价的充要条件是存在 m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵 Q，使 PAQ B .设有n阶矩阵A及n s矩阵B，求矩阵X使AX B。如果A可逆，贝U X A 1B。而 当A可逆时，根据定理2,有初等矩阵P1,R2丄，R，使A PR2L Pi，从而A 1 R t R 1。 于是F| 1L1A E,P 1lL1B A1B上式表明A经
9、一系列初等行变换化为E，B经同一系列初等行变换化成 A1B，即1 1 1P L P (代B) (E,A B)220 例 2：求解矩阵方程 AX A X, 其中 A 2 1 3 010 解：把所给方程变形为 (A E)X A12022012022001101 0 :011 0 10120220:043233001 2 13(A E,A)203213100226011010010203001213可见 A E :E,因此AE 可逆，且226X(AE)1A203.2134、课堂总结 矩阵的初等变换与初等矩阵是线性代数里最基本的运算，在后面几章中都需要用到这种运算。5、布置作业 P 791(1)(3),4
