《近世代数答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《近世代数答案（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、近世代数作业参考答案概念解释I. 代数运算：一个集合A x B到集合D的映射叫做一个A x B到D的代数运算。2群的第一定义：一个非空集合G对乘法运算作成一个群，只要满足：1) G对乘法运算封闭；2) 结合律成立：a (be) = a (be)对G中任意三个元a, b, c都成立。3) 对于G的任意两个元a,b来说，方程ax = b和ya = b都在G中有解。3. 域的定义：一个交换除环叫做一个子域。4. 满射：若在集合A到集合A的映射下，A的每一个元至少是A中的某一个元的象，则称为A到A的满 射。5. 群的第二定义：设G为非空集合，G有代数运算叫乘法，若：(1) G对乘法封闭；(2)结合律成
2、立；(3)单位元存在；(4) G中任一元在G中都有逆元，则称G对乘法作成群。6. 理想：环R的一个非空子集N叫做一个理想子环，简称理想，假若：(1) a,b e N n a 一b e N(2) a e N, r e N n ra e N,ar e N7. 单射：一个集合A到A的映射，：a T a ，a e A, a e A,叫做一个A到A的单射。若: a 丰 b n a 丰 b。8. 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。9. 环：一个环R若满足：(1) R至少包含一个不等于零的元。(2) R有单位元。(3) R的每一个非零元有一个逆元，则称R为除环。10. 一一映射：既是满射又是单射的
3、映射，叫做一一映射。II. 群的指数：一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数，叫做群H在G里的指数。12.环的单位元：设R是一个环，e e R，若对任意的a e R，都有ea = ae = a，则称e是R的单位元。二. 判断题1. 是集合A x A xx A列集合d的映射，则A (i = 1,2,n)不能相同。12ni2. 在环R到环R的同态满射下，则R的一个子环S的象S不一定是R的一个子环。3. 设N为正整数集，并定义a。b = a + b + ab (a,b e N)，那么N对所给运算。能作成一个群。4假如一个集合A的代数运算。适合交换率，那么在a。a。a a里(a e A)，元的
4、次序可以交换。123 ni5. 在环R到R的同态满射下，R得一个理想N的逆象N 定是R的理想。1 .X；2.X； 3. V； 4.X； 5.V；第丄页_共J0_页6. 环R的非空子集S作成子环的充要条件是：1)若 a,b e S,则 a - b e S ；2) a,b e S,，则 ab e S。7. 若是A与A间的一一映射，则-1是A与A间的一一映射。8. 若是整环I的一个元，且有逆元，则称*是整环I的一个单位。9设与P分别为集合A到B和B到C的映射，如果，P都是单射，贝肛是A到C的映射。10. 若对于代数运算。,：，A与A同态，那么若A的代数运算。适合结合律，则A的代数运算也适合结合律。6
5、 V ； 7V； 8，V； 9V； 10.V；11. 整环中一个不等于零的元a，有真因子的冲要条件是a = bc。12. 设F是任意一个域，F*是F的全体非零元素作成的裙，那么f*的任何有限子群G必为循环群。13. 集合A的一个分类决定A的一个等价关系。()14. 设H ,H均为群G的子群，则H o H也为G的子群。()1 2 1 215. 群G的不变子群N的不变子群M未必是G的不变子群。()11.X； 12.V13、V14、X 15、V三. 证明题1. 设G是整数环Z上行列式等于1或-1的全体n阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G作成一个 群。证：G显然非空，又任取A，B e G,则国
6、=1,网=1，于是AB是整数方阵，且=卜卜网=1，故AB e G，即G对乘法封闭。结合律显然成立，且E是G单位元。又设A e G,由于A是整数方阵，故A的伴随矩阵A*也是整数方阵；又A =1,故A-1 =丄A* = A*，即A-1也是整数方阵，即G中每一个元在G中都有逆元，从而证得G作 IAI成一个群。2. 设G= (a)是循环群，证明：当a时，G= (a)与整数加群同构。证：设a，则当m丰n时，am丰an，于是映射：am T m就是G= (a)到整数加群Z的一个映射。又am - an = am+n t m + n，故是G到Z的同构映射。即G= (a)与整数加群Z同构。3.证明：高斯整环Z叮=
7、匕+ bi I a,b e Z中的单位有且只有土 1 ， 土 i。证： 1,i显然是Zi的单位，设x=a+bi是Zi中的任意单位，则存在y=c+die Zi使xy=(a+bi)(c+di)=1而第_2页_共J0_页以上仅为参考答案，简答、论述题均只列及主要的解题知识点，请您结合自我理解和课本内容进行知识掌握和巩固。如对答案等有疑义，请及时登录学院网站“辅导论坛”栏目，与老师交流探讨！(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=l,ad+bc=O (1)从而a2c -abd = a又 ad= -bc 代入前式有：(a2 + b2)c 二 a，即(a2 + b2)|a
8、若 a=0,则由(1)有 bd= -1,只有 b= 土 1,即 x = i。若a丰0，则由(a2 + b2)|a得b=0, a= 1,即x= 1,因此证得：Zi的单位元只有土 1,i。4.设G是由以下四个二阶方阵作成的集合r 10、,b =r-10、r 10、,d =r-1 0、a =,c =01丿 0 1丿证明：G对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。证：由题设可列乘法表：abcdaabcdbbadcccdabddcba由此表可知：方阵普通乘法是G的代表运算，a是G的单位元，又由于对角线位置上的元素相等，故乘法 可以交换，且每个元素G中都有逆元，结合率显然成立。故G对方阵普通乘法作成
9、一个交换群。5.证明：在群G中只有单位元满足方程x2二x。证：设e是群G的单位元，则e显然满足方程另外设a e G,且a2二a，则有a-1 a2二a-1 a 即a=e,即只有e 满足方程x2二x。6.证明：在整环Zi中5有唯一分解，并给出5的一种分解。证：因为1 2i|2二5为素数，则1 土 2i (以及1 士 2i,2 i,-2 i)是Zi的不可约元，且显然有分解:5 二(1 + 2i)(1 - 2/) 若设 5 二 a a a (a 不可约)贝y12n i52二a 2 - a 2a 2且a 2丰1, a 2丰25，这只有n = 2，且a 2二5不妨设12niii5=ab且|a|2二|b|2
10、二5则只能a = b，即5= aN，即5有唯一分解。7.令 G= 4, a, b， 且G有如下乘法：eabeeabaabebbea证明：G对此乘法作成一个群。证：由乘法表可知，G对所给乘法封闭，e是单位元，又e-1 = e , at = b , bt = a，即每个元素在G中都有 逆元，因此要证G是一个群，只要再证结合律成立即可。任取 x, y g G，则显然有：e(xy) = x(ey) = xy = x(ye)(xx)x = x(xx)其次令x, y g a, b，且x丰y，则由乘法表知：xx = y, yy = x, xy = yx = e,可知结合律成立。8.设R是一个环，证明:1)
11、若R中左右单位元同时存在，则必相等。2) 若R中至少有两个左(或右)单位元，则R中任一非零元都是右(或左)零因子。证：1)设e , e分别是环R的左右单位元，则由此有：e e二e ，e e = e，1 2 12 2 12 1 从而e = e ，即它是R的单位元。1 22)设e，e是R的两个互异的左单位元，则对任意的a g R, a丰0,有1 2e a二a二e a 或(e - e ) a =0，但e -e丰o,故a是r的一个右零因子。同理，若R有至少两个右单位1 2 1 2 1 2 元，则R的每一个非零元都是R的左零因子。9设M (R)是实数域R上的二阶方阵环，又a, b g R ，证明：F 是
12、 M (R)的一个子域。/ ab/ cd、，B =厂ba丿乂 d c 丿证：任取A，Bg F,且令A =显然A-BgF，又当B丰0时，实数c,d不全为零，于是B = c2 + d 2丰0， ac + bd bc - ad )且AB-i =g F，故F是M(R)的一个子域。Iad 一 bc ac + bd丿10. 设u是群G的任意一个固定的元素，证明：集合G对新运算a。b二au -1b作成一个群。证：显然所给运算是G的一个代数运算，又任取a,b,c g G,则(a。b)。c 二(au-1b)。c 二(au -1b)u-1ca。(b。c)二 a。(bu-1c)二 au-1(bu-1c) 而 g 是
13、群。(au-1b)u-1c二au-1 (bu-1c) 即(a。b)。c二a (b。c) 即G对新代数运算结合律成立。又任取 a g G， a。u = auu-1 = a，即u 是右单位元。又a。(ua-1u)二au-1(ua-1u)二u，即ua-1u是a的右逆元。由群的定义知，G对新运算也作成一个群。11. 设R是有单位元I的交换环，M (R)是R上n阶方阵环，A, B g M (R)，证明：nnAB = E o BA = E，其中e是n阶单位矩阵。证：设AB = E，由于R可交换，得：AB = |A|B = B|A| = 1，从而A可逆，设A *是A的伴随矩阵，则由R有单位元1可知：第_4页
14、_共J0_页A*A = AA* = |A|E于是 A一 1 二 |A|t A* 故若：AB = E，则:ABA = AA-iABA = A-1A = E ，即 BA = E 同理可由 BA = E n AB = E，证毕。12.设A和B是环R的理想，证明：当A和B至少有一个含有单位元时，A。B二ab I a e A,b e B是R 的理想。证：不妨设A含有单位元e,任取a , a e A，b , b e B, r e R，由题设A，B都是R的理想，得：1 2 1 2a b a b e B a b a b = (ea )b (ea )b = e(a b ) e(a b ) = e(a b a b ) e A。B1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 213设S是三次对称群，H = (1),(12)是S的子群。331. 把S的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。32求出S3关于H的所有左陪集和右陪集;3. 写出S的所有子群与正规子群。31、S = (1),(,(13),(23),(123),(132)；-32左陪集:H = (1),(12) ； (13)H = (13),
