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1、 辅导讲义 年 级：初三 辅导科目：数学 教学内容 一、同步知识梳理知识点1：圆的定义圆的定义有以下两种：（1）在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个O旋转一周，另一个P所经过的封闭曲线叫做圆。 定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径。以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”。 这是圆的描述性定义，由定义也可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”。（2）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点叫做圆心，定长叫做半径。 这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径
2、r）；到定点距离等于定长的点都在圆上。思考：点与圆的位置关系：如果O的半径为r，点P到圆心的距离为d，那么点P在圆内 ；点P在圆上 ；点P在圆外 .思考：同圆，等圆的概念题型1：圆的定义例1：半径相等 如图，已知CD是O的直径，EOD78，AE交O于点B，且ABOC，求A的度数解析EOD78与未知角A构成了内、外角关系，而E也是未知角，且ABOC这一已知条件不能直接用，故可考虑用“同圆半径相等”来解解连接OB.ABOC，OBOC，ABOB.AAOB.又OBOE，EOBEAAOB2A.DOEEA3A，A26. 点评利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形解题是本题得解的关键检测题1：如图，在ABC中
3、，ACB=90，A=40；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求ACD的度数例2：点和圆的位置关系已知线段AB的长为4cm，试用阴影表示到点A不小于3cm，且到点B小于2cm的点的集合解根据题意作出图形，如图所示，其中阴影部分即为所求点评解决这类问题的关键是正确掌握点和圆的位置关系检测题2：如图，已知矩形ABCD的边AB3cm，AD4cm.(1)以点A为圆心，4cm为半径作A，则点B、C、D与A的位置关系如何？(2)若以点A为圆心作A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则A的半径r的取值范围是多少？解(1)AB3cm4cm，点B在A内AD4cm，点D在A上又AC5cm
4、4cm，点C在A外(2)AB3cm，AD4cm，AC5cm，也就是说，B点到圆心A的距离3cm是最短距离，C点到圆心A的距离5cm是最长距离使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，A的半径r的取值范围是3cmr5cm.点评(1)点与圆的位置关系，与点到圆心的距离(d)，圆的半径(r)之间的大小关系有着紧密联系，是“数”与“形”的结合(2)判断点和圆的位置关系，主要是把点到圆心的距离(d)与圆的半径(r)的大小进行比较当dr时，点在圆内；当dr时，点在圆上；当dr时，点在圆外知识点2：圆中的基本线段定义1：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径2：圆上任意两点间的部分叫
5、做圆弧，简称弧圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧3：顶点在圆心的角叫做圆心角4：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆能够互相重合的两个圆叫做等圆在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧5：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等例1：下列说法中正确的是_(填序号)圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的两条弧也相等；平分弦的直径垂直于这条弦；垂直于弦的直径平分这条弦解析圆是轴对称图形，它的对称轴是经过圆心的每条直线而不是直径，
6、所以不正确；因为一条弦对两条弧，所以也不正确；因为直径是弦，所以也不正确答案点评对于概念辨析题，进行比较或举出反例是解决这一类题的关键检测题1：下列说法中，正确的有_(填序号)弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半径相等的两个半圆是等弧；直径是圆中最长的弦解析直径经过圆心，弦不一定是直径，故错误是正确的答案点评(1)注意易混淆概念的区别与联系，通过比较进行解题(2)要注意运用数形结合思想，看到概念联想有关图形，看到图形联想有关概念知识点3：1：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧2：圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所
7、对的圆心角的一半3:直径(或半圆)所对的圆周角是直角90的圆周角所对的弦是直径;例1：如图，已知O中的度数是度数的2倍，则AB与2CD的关系是()AAB2CD BAB2CD CAB2CD D无法确定解析取的中点E，连接AE、BE，由题意知，AEBECD.在ABE中，AEBEAB，即2CDAB.答案C点评同圆或等圆中，等弧对等弦但不能把这一结论推广成弧与所对的弦成正比例关系检测1：如图，ABC内接于O，A=30，若BC=4cm，则O的直径为（）A6cmB8cmC10cmD12cm例2：如图，已知的半径为，是直径同侧圆周上的两点，的度数为，的度数为，动点在上，求的最小解：连接DC，根据题意以及垂径
8、定理，得弧CD的度数是120，则COD=120度作OECD于E，则DOE=60，则DE=R，CDR测试题2 ：已知：如图，是的直径，点是半圆上一个三等分点，点是的中点，是上一动点，的半径为，则的最小值是_例1：如图，AB是半圆的直径，D是的中点，ABC40，求A的度数解连接BD.D是的中点，.ABDCBDABC20.AB是半圆的直径，ADB90.又ABD20，A180ABDADB70.点评(1)构造直径所对的90圆周角是解决与圆相关问题的常用辅助线，这样为勾股定理的运用、相似三角形的产生创造了条件(2)“90的圆周角所对的弦是直径”是确定一个圆的圆心的重要方法例2：已知：如图，四边形ABCD是
9、O的内接四边形，BOD=140，则DCE= . 例3 ：已知：如图，为的直径，交于点，交于点AOECDB（1）求的度数；（2）求证：例4：如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD长 一、专题精讲 半径相等 例1：与勾股定理结合 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为_ 例2：与中心对称图形结合如图，的直径AB=4，半径,D为 上一点， ,垂足分别为E,F，求EF的长。 例3：用于几何证明 已知：如图，BD、CE是ABC的高，试说明点、C、D、E在同一个圆上二、专题精讲 垂径定理 例1：求弦求半径在半径为5cm的圆中，弦AB
10、CD，AB6cm，CD8cm，求弦AB与弦CD之间的距离解析要求两弦之间的距离，可以过圆心作弦的垂线段，这样把半径、弦长、弦心距转化到一个直角三角形中，从而求得解分两种情况：当弦AB、CD在圆心的同侧，如图所示，过O作OEAB，垂足为E，交CD于点F，连接OA、OC，再由垂径定理可得：AEEBAB3cm，CFFDCD84(cm)在RtOAE中，OE4(cm)同理OF3cm.AB与CD之间的距离EFOEOF431(cm)当弦AB、CD在圆心O的异侧时，如图所示，同可求得OE4cm，OF3cm，则弦AB与CD之间的距离EFOEOF437(cm)弦AB与CD之间的距离是1cm或7cm.点评图形位置关
11、系的确定是几何的重要方向，应考虑到图形的所有可能情况，全面地思考问题例2：几何证明如图，点O是RPS的平分线PQ上一点，以O为圆心的圆分别交角的两边于A，B和C，D，PQ交O于E，F.(1)求证：PBPD；(2)若O逐渐向左移动，当点P与点O重合时，如图所示，PBPD成立吗？若O继续向左沿直线PQ移动，直至点P与点F重合时停止(除去点P与点F重合时的情况)，PBPD仍成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明解析(1)过O分别作OMPR于点M，ONPS于点N，易得OMON，由弦心距相等可得弦相等，即ABCD，再由垂径定理可得结论；(2)开始点P在线段OE上，但不与点O，E重合(如图所示)
12、，再向左移动，点O与点P重合(如图所示)，再移动，点P在线段OF上，但不与点O，F重合(如图所示)证明(1)过点O分别作OMPR于点M，ONPS于点N.又PQ平分RPS，OMON.ABCD，RtPOMRtPON.PMPN.由垂径定理可得BMAB，DNCD.又ABCD，BMDN.PMBMPNDN，即PBPD.(2)当点P与点O重合时，如图所示，显然有PBPD.当点P在线段OF上(不与点O，F重合)时，如图所示过点O作OMAB于点M，作ONCD于点N.证法同(1)，可证PBPD.点评解决这类问题的关键是要动中求静，静中思动，使一般问题从特殊情况中寻找规律、得出结论例3：实际应用如图所示，已知油面宽AB300mm，弓形APB的高PQ225mm，求油槽的内径及油的最大深度解析油槽的内径就是油槽横截面的内径，油的最大深度就是劣弧AB的中点到AB的距离，将此实际问题转化为数学问题，就是在圆中已知弦长及弓形的高，求半径，利用垂径定理确定劣弧的中点、弦的中点及圆心后，就可利用直角三角形求解解表示油所在的圆弧，弦AB表示油面，P为优弧APB的中点，则PQAB，Q为垂足设点O为油槽横截面的圆心，延长PQ交于点C，根据垂径定理知C是的中点，且P
