【创新设计】2011届高三数学一轮复习 2-10导数在研究函数中的应用 导数在实际生活中的应用随堂训练 文 苏教版

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1、第10课时 导数在研究函数中的应用 导数在实际生活中的应用一、填空题1(江苏省启东中学高三质量检测)曲线yx3x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_解析:曲线yx3x在点处的切线斜率为y|x1x1(x21)|x12,所以切线的方程为y2(x1),即y2x,与x轴的交点和y轴的交点为,所求面积为S.答案:2(江苏省高考命题研究专家原创卷)设mR,若函数yex2mx,有大于零的极值点, 则m的取值范围是_解析:因为函数yex2mx,有大于零的极值点,所以yex2m0有大于零的实根令y1ex,y22m,则两曲线的交点必在第一象限由图象可得2m1,即m.答案:m3(江苏省高考名校联考信息优化卷)已

2、知f(x)x22xaln x,若f(x)在区间(0,1上恒为单调函数,则实数a的取值范围为_解析:由题意知,f(x)2x2,f(x)在区间(0,1上恒为单调函数,f(x)在区间(0,1上恒大于等于0或恒小于等于0,2x22xa0或2x22xa0在区间(0,1上恒成立,即a(2x22x)或a(2x22x),而函数y2x22x在区间(0,1的值域为4,0),a0或a4.答案:a0或a44已知f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)0,f(x)0,则函数yxf(x)的递增区间是_解析:当x0时,yxf(x)f(x)xf(x)0,yxf(x)在(0,)上递增又f(x)为奇函数,yxf(x)为偶函数,yx

3、f(x)在(,0)上递减答案:(0,)5某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是RR(x),则总利润最大时,每年生产的产品是_解析:由题意得,总成本函数为CC(x)20 000100x,所以总利润函数为PP(x)R(x)C(x)而P(x)令P(x)0,得x300,易知x300时,P最大答案:3006 (江苏省高考命题研究专家原创卷)定义在(0,)上的函数f(x)的导函数f(x)0恒成立,且f(4)1,若f(xy)1,则x2y22x2y的最小值是_解析:由f(x)在(0,)上的导函数f(x)0,y0.又因为x2y22x2y(

4、x1)2(y1)22,(x1)2(y1)2可以看作是(x,y)到(1,1)的距离的平方,所以由线性规划知识可得x2y22x2y的最小值是16.答案:167(江苏省高考命题研究专家原创卷)幂指函数yf(x)g(x)在求导数时,可以运用对数法:在函数解析式两边求对数得ln yg(x)ln f(x),两边求导得g(x)ln f(x)g(x),于是yf(x)g(x).运用此方法可以探求得知y (x0)的一个单调递增区间为_解析:由题意得y2(1ln x),由y0得0xe,所以单调递增区间为(0,e)答案:(0,e)二、解答题8(2010东台中学高三诊断)如图所示:一吊灯的下圆环直径为4 m,圆心为O,

5、通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天花板的距离(即OB)为2 m,在圆环上设置三个等分点A1,A2,A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B),同时点C与点A1,A2,A3,B均用细绳相连接,且细绳CA1,CA2,CA3的长度相等设细绳的总长为y m.(1)设CA1O=(rad),将y表示成的函数关系式;(2)请你设计,当角正弦值是多少时,细绳总长y最小,并指明此时BC应为多长解:(1)在RtCOA1中,CA1=,CO=2tan,y=3CA1+CB=3+2-2tan =+2(0时,y0;sin时,y0,y=sin在上是增函数,当角满足sin=时,y最小,最小为4+2;此时BC=2-

6、 (m)9.(江苏省高考命题研究专家原创卷)一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比,与它的厚度d的平方成正比,与它的长度l的平方成反比(1)将此枕木翻转90(即宽度变为了厚度)后,枕木的安全负荷会变大吗?为什么?(2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材,用它来截取成长方形的枕木,其长度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最大?解:(1)由题可设,安全负荷y1=k ( k为正常数),翻转90后,安全负荷y2=k.,当0da时,y1y2,安全负荷变大;当0ad时,y2y1,安全负荷变小;当d=a时,y1=y2,安全负荷不变故将此枕木翻转90后,安全负荷不一定变大

7、(2)设截取的宽为a,高为d,则,即a2+4d2=4R2.枕木的长度不变u=ad2最大时,安全负荷最大由题意可设u(a)=ad2=a(R2-a2),u(a)=R2-a2,令u(a)=0,可得a=R.当0a0,函数u(a)单调递增;当Ra2R时,u(a)0,函数u(a)单调递减所以当a=R,d=R时,u(a)取得最大,即安全负荷最大10(江苏省高考名校联考信息优化卷)已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若g(x)f(x)在1,)上是单调增函数,求实数a的取值范围解:(1)函数f(x)的定义域为(0,)当a2时,f(x)2x.当x变化时,f(x)和

8、f(x)的值变化情况如下表:x(0,1)1(1,)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,),极小值是f(1)1.(2)由g(x)x2aln x,得g(x)2x.若函数g(x)为1,)上的单调递增函数,则g(x)0在1,)上恒成立,即不等式2x0在1,)上恒成立也即a2x2在1,)上恒成立. 令(x)2x2,则(x)4x.当x1,)时,(x)4x0,(x)2x2在1,)上为减函数,(x)max(1)0,a0.故a的取值范围为0,)1某轮船公司争取一个相距1 000公里的甲、乙两地的客运航线权,已知轮船平均载客人数为400人

9、,轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比,轮船的最大速度为25公里/小时当轮船的速度为10公里/小时,它的燃料费用是每小时30元,轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元若公司打算从每个乘客身上获利10元,试为该公司设计一种较为合理的船票价格解:设轮船航行速度为v公里/小时,则0v25.又设总费用为y元,则y480av3.(其中a为比例系数)由条件30a103,所以a.代入上式有y30v2,v(0,25,所以y60v令y0,解得v20.当v20时,y20时,y0,又v20是(0,25内唯一极值点且是极小值点,于是,当v20时,y有最小值36 000元所以平均每个乘客的费用为

10、90(元)因此,该公司可定票价为100元2(2010扬州中学上学期期中卷)已知函数f(x).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设a0,求函数f(x)在2a,4a上的最小值;(3)某同学发现:总存在正实数a、b(ab),使abba,试问:他的判断是否正确?若不正确,请说明理由;若正确,请直接写出a的取值范围(不需要解答过程)解:(1)定义域为(0,),f(x),令f(x)0,则xe,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,e)e(e,)f(x)0f(x)f(x)的单调增区间为(0,e);单调减区间为(e,)(2)由(1)知f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,)上单调递减,

11、所以,当4ae,即a时,f(x)在2a,4a上单调递增,f(x)minf(2a);当2ae,即a时,f(x)在2a,4a上单调递减,f(x)minf(4a)当2ae4a时,即a时,f(x)在2a,e上单调递增,f(x)在e,4a上单调递减,f(x)minminf(2a),f(4a)下面比较f(2a),f(4a)的大小,f(2a)f(4a),若a1,则f(2a)f(4a)0,此时f(x)minf(2a);若1a0,此时f(x)minf(4a),综上得:当01时,f(x)minf(4a).(3)正确,a的取值范围是1ae.注:理由如下,考虑几何意义,即斜率,当x时, f(x)0.或者由极限得又f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,)上单调递减f(x)的大致图象如右图所示,总存在正实数a、b且1aeb,使得f(a)f(b),即,即abba.

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