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1、2022年高中数学辗转相除法与更相减损术教案3 北师大版必修3学习目标1通过算法的典型案例，经历设计算法解决问题的全过程，感受算法解决问题的重要作用；2理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析,设计出这两种算法的程序框图并写出它们的算法程序； 熟练运用这两种算法求最大公约数3进一步体会算法的基本思想，发展有条理地思考与解决问题的能力，提高逻辑思维能力重点难点 随记重点：掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法难点：对辗转相除法与更相减损术的算法的基本思想的理解. 导学过程 板块一：课前自学1 回顾算法的三种表述：自然语言、程序框图（三种逻辑结构）、程序语言（
2、五种基本语句） 2回顾求两个数的最大公约数的方法24与30的最大公约数求较大的两个数210与462的最大公约数板块二：新知探究1 问题提出：当两个数公有的质因数（如8251与6105）较大时，用原来的显然困难，须改进算法，用什么方法好？2 点拨：辗转相除法是解决上述问题的有效方法之一，此算法是欧几里得在公元前300左右首先提出的，因而，又叫欧几里得算法3师生探究：例1用辗转相除法求8251与6105的最大公约数探究1：用辗转相除法求两个正数225和135的最大公约数探究2：辗转相除法算法步骤如何？其蕴含的数学原理是什么？ 请画出用辗转相除法求两个数的最大大公约数的程序框图，并编写程序？4问题提
3、出：除了用上述算法求两个数的最大公约数之外还有没有别的算法？5点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是我国数学家刘徽的专著九章算术中记载的更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数若是，用2约简；若不是，执行第二步第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数6师生再探：例2 用更相减损术求91与49的最大公约数 探究3:怎样用更相减损术求182与98的最大公约数?
4、探究4:用更相减损术求80与36的最大公约数，并用辗转相除法检验结果探究5: “更相减损术” 蕴含的数学原理是什么？ 思考: “辗转相除法”与“更相减损术”的区别是什么？ （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以 为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对 ，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 则得到，而更相减损术则以减数与差 而得到板块三：知识拓展 问题提出：如何求三个正整数的最大公约数？ 例3求三个数175、100、75的最大公约数板块四：课堂总结1“辗转相除法”与“更相减损术”都是求最大公约
5、数有的效方法；2计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显；从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到3求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第三数的最大公约数来求得 板块五：当堂反馈1用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（ ）A2 B3 C4 D52两个整数228和1995的最大公约数是（ ）A 38 B57 C76 D1713用更相减损术求得78与36 的最大公约数为( ) A24 B
6、18 C12 D64 是我国古代数学专著 中介绍的一种求两数最大公约数的方法5求三个数324、243、135的最大公约数6求四个数84、108、132，156的最大公约数7利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数 板块六：分层作业：A层做13题；B层做12题1（1）36与182的最大公约数为 ；（2）1978与xx的最大公约数为 ；（3）1624与899的最大公约数为 ；（4）204与85的最大公约数为 ；2用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果（1）300，xx； （2）5280，12155 3求三个数168、56、264的最大公约数 思考题：请设计用“更相减损术”求两个数的最大大公约数的程序板块七：课后学习反思：
