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1、高中数学第一章集合1.1集合的含义及其表示互动课堂学案苏教版必修11.1 集合的含义及其表示互动课堂 疏导引导 1.一般地，我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合.疑难疏引（1）集合是数学中最原始的概念之一，无法给出它的定义，只能作描述性说明.（2）集合中元素的特征.确定性是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必具其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准；互异性是指给定一个集合，其中的任何两个元素都是不同的，即在同一个集合中，不能重复出现同一元素，这一点常被我们所忽略;无序性是指在一个集合中，元素之间都是平等的，它们都充当集合中的一员，无
2、先后次序之分.案例1当x为何值时，0，x，x2-x不能表示一个数集？【探究】 本题考查集合中元素的互异性，即同一集合中的元素必须是互不相同的.0，x，x2x能否表示一个数集，关键在于它是否具备集合的三个要素.在这里，只要看它是否满足互异性,要使0，x，x2x不表示一个数集，只需x=0或x2-x=0或x2-x=x，即x=0或x=1或x=2.【溯源】 判断一组对象能否构成一个集合，关键是看这组对象是否同时具备集合元素的三个特征.考查该知识点的问题分正向和逆向思维两个角度，其解决问题的基础还是正确理解三个特征要求.2.元素和集合的关系疑难疏引元素和集合的关系是和的关系，二者有且只有一种成立.集合具有
3、两方面的意义，即凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件.案例2已知集合A=xx=mn ，m、nZ，判断下列元素x与集合A的关系：（1）x=；（2）x=a，aZ；（3）x=x1x2（其中x1A，x2A）.【探究】 本题考查元素与集合的关系.判断某对象是否为某集合的元素，关键在于判断它们是否具备该集合元素公有的属性,即将x值试着写成mn 的形式，若m、n是整数，便可完成判定，若无法表示成上式或m、n不为整数，则x不为集合中的元素.（1）x = =+，即m=，n=1，其中Z，A.（2）x=a=a0（aZ，0Z），aA.(3)x1A,可设x1=m1+n12,同理可设x2=m2+n
4、2.于是x=x1+x2=(m1+m2)+(n1+n2) .m1、,m2、,n1、,n2Z,(m1+m2)Z,(n1+n2)Z.xA.【溯源】 理解一个集合意义的重点在于抓住代表元素及公共属性，而判断元素与集合的关系，依据就是元素的公共属性，解题时需做必要的恒等变形.3.常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集，记作N.所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+.全体整数组成的集合称为整数集，记作Z.全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q.全体实数组成的集合称为实数集，记作R.4.集合的表示方法疑难疏引(1）列举法：在使用列举法时应注意以下四点：元素间用逗号“，”；元素不重
5、复；不考虑元素顺序；对于含元素较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，可用列举法表示，但是必须把元素间的规律呈现出来后，才能用省略号表示，如1，2，3，n，1，3，5，7，9，.(2）描述法：在使用描述法时应注意以下几点：写清元素代号；说清集合中元素的特性；文字表述多层次时，应当准确使用“且”“或”；所有描述的内容都写在集合括号内；语句力求简明、确切，字句逐一说明.(3）图示法：Venn图法，采用平面上一条封闭曲线的内部表示集合.案例3判断下列命题是否正确.（1）所有接近于的有理数组成一个集合；（2）方程x2+x+1=0的根组成一个集合；（3）集合y|y=x+1与集合(x,y)|y=x
6、+1是同一个集合；（4）1，0，(2)0，0.25这些数组成的集合是一个五元集.【探究】 本题主要考查集合的含义及特性，确定性要求构成集合的元素必须是确定的，不能用“接近”等模糊的词.方程x2+x+1=0虽然没有实数根，但可以构成空集.当且仅当两集合的元素完全相同时，两集合相等.互异性要求相同的元素在集合中只出现一次.故（1）错误;（2）正确;（3）错误;（4）错误.【溯源】 数学语言比生活语言更严密、精练，表达的含义更深刻.学习时,如果注意到这一点会使我们在理解上更清晰.案例4用描述法表示下列集合：（1）由所有被4整除的自然数组成的集合；（2）抛物线y=x2-2x上的点组成的集合；（3）,
7、, , .【探究】 将集合中所有元素的共同性质表示出来，写成x|p(x)的形式就是描述法.其中x是代表元素，它取到的值就是集合的元素.p(x)指元素的共同属性.（1）x|x=4n,nN;（2）(x,y)|y=x2-2x;（3）x|x=,n=1,2,3,4,5.【溯源】 集合根据元素的性质可把集合分为数集（数构成的集合）、点集（点构成的集合）或其他集合（除去数集、点集，元素可以是世界万物）.活学巧用1.下列所给对象不能构成集合的是()A.一个平面内的所有点B.所有小于零的正数C.某校高一（4）班的高个子学生D.某一天到商场买过货物的顾客【思路解析】 由集合概念可知，组成集合的元素必须是明确的，而
8、不能是模棱两可的.在A中对于任何一个点要么在这个平面内，要么不在这个平面内，因而它可以组成一个集合.在B中由于小于零的正数不存在，因此B也能组成一个集合，即空集.C中由于“高个子”没有一个确定的标准，因而不能判定一个学生到底是不是高个子，故它不能组成集合.而D中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场，以及是否买过货物是确定的，因此它也能组成一个集合.【答案】 C2.下列对象不能构成集合的是()方程x29=0的实数根我国近代著名的数学家联合国常任理事国空气中密度大的气体A.B.C.D.【思路解析】 研究对象能否构成集合的问题一般主要考查集合元素的确定性.中的研究对象显然符合确定性；中“著名”没有
9、明确的界限；中“密度大”的程度没有明确的界限.【答案】 D3.需要添加什么条件，才能使0，x，x2x表示一个数集？【思路解析】 0，x，x2x能否表示一个数集，关键在于它是否具备集合的性质，在这里就只要看它是否满足互异性即可，故有x0且x2x0且x2xx，即x0且x1且x2.【答案】 x0且x1且x2.4.下列各组对象：聪明的学生;所有的锐角三角形;数学中的难题;被3除余数是2的所有整数;大于1且小于2的所有无理数.其中能构成集合的对象有组.()A.1 B.2 C.3 D.4【思路解析】 由集合概念可知，组成集合的元素必须是明确的，而不能是模棱两可的.、不是.【答案】 C5.若A=-1,2,B
10、=x|x2+ax+b=0，且A=B，则有()A.a=1,b=2 B.a=1,b=-2C.a=-1,b=2 D.a=-1,b=-2【答案】 D6.用“”或“”填空:（1）0_N*;（2）-1_R;（3）0_;（4）2_Q;（5）_R;（6）-3_Z.【思路解析】 注意区别两个符号的含义.【答案】 (1) (2)(3) (4) (5)(6)7.用适当的方法表示下列集合:（1）所有奇数组成的集合；（2）所有小于20的质数组成的集合；（3）平面直角坐标系中一、三象限的所有点构成的集合；（4）方程组的解集.【答案】 （1）x|x=2n-1,nZ；（2）2，3，5，7，11，13，17，19；（3）(x,
11、y)|xy0；（4）(2,3),(-2,-1).8.下列各组集合中，表示同一集合的是()A.M=(3,2),N=(2,3)B.M=3,2,N=2,3C.M=(x,y)|x+y=1,N=y|x+y=1D.M=(3,2),N=2,3【答案】 B9.当a,0,-1=4，b，0时，a=_,b=_.【答案】 4-110.用列举法表示下列集合：（1）“intersection”中的字母构成的集合；（2）t|0t17,t=5k,kZ；（3）方程组的解集.【思路解析】 将集合的元素一一列举出来就是列举法，方程组的解是成对出现的，所以用点的坐标的形式表示.【解答】 （1）i，n，t，e，r，s，c，o;（2）5，10，15;（3）（1，2）.11.设集合A=x|x=2k，kZ，B=x|x=2k+1，kZ，若aA ，bB，试判断a+b与A、B的关系.【思路解析】 首先看到a+b是元素，A、B是集合,所以a+b与A、B的关系应该是、的关系.【解答】 aA，a=2k1（k1Z）.又bB，b=2k2+1（k2Z）.a+b=2（k1+k2）+1.k1+k2Z，a+bB，a+bA.1
