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1、数学问题解决模式教案教学单位：数学与信息科学学院授课教师:课程名称数学教育心理学授课专业数学与应用数学所选教材数学教学心理学.喻平编著.北京师范大学出版社，2010.授课学时2学时教学设计理念坚持“以发展为中心，教学做统一”的教学理念.学生是学习的主体，教师是学习的组织者、参与者和合作者.把课堂还给学生、把时间还给学生、把话语权还给学生，充分发挥学生学习的主动性、自主性与创造性.教学目标1、了解数学问题解决的相关理论，理解数学问题解决模式，掌握“问题表征”与“模式识别”的基本策略；2、经历数学问题模式的构建过程，体会自己解决问题的基本认知过程，提高解题的有效性；3、认识数学问题解决的价值，树立
2、正确的数学解题观.教学内容1、数学问题解决的相关理论；2、数学问题解决模式（喻平）；3、数学解题过程的本质；4、“问题表征”与“模式识别”的基本策略.教学重难点重点：数学问题解决模式.难点：数学问题解决模式的建构及其运用.教学方法“导讲评研”教学与讲授法教学相结合.教学过程:一、学习准备问题1：将一个三角形的三个内角折成一个平角.问题2：如图，ACCE,ABCE,BC解答要求:ABC交BE于F,求AFB的大小.1、尽可能详细地记录解答问题1与问题2的思维活动过程，包括对题目信息的理解、思路的产生、所遇到的的策困难、突破困难略以及所想到的其他相关知识与方法.2、试着将你解答问题1与问题2的思维活
3、动过程划分为相对明确的几个阶段，并试着用学过的数学学习心理学知识解释这些阶段的特点.你认为解答问题1与问题2的关键是什3、在解答问题1与问题2的过程中，你最大的收获是什么你认为解答数学题有什么好处二、数学问题解决的相关理论简介1、波利亚（1887-1985）解题理论论著：怎样解题（1944）、数学与合情推理（1954）、数学的发现（1962-1965）.主要观点：（1）解题是人类的一项基本活动；掌握数学就意味着解题.（2）解题步骤：理解题目一一拟定方案一一执行方案一一回顾.2、罗增儒（1945-）的解题理论论著：数学解题学引论（2001）.主要观点：如果把解题比作打仗，那么解题者的兵力就是基础
4、知识，兵器就是数学基本方法，而调动数学基本知识、运用数学基本解题方法的数学解题学正是“兵法”三、对话性讲解（一）探讨解答问题1与问题2的思维过程1、问题1的思维过程（1）由两个小组的代表介绍他们的思维过程.（2）提供以下解答过程：当拿到这个问题时，我第一反应是：想办法将三个角往一块凑.一开始，虽然将三个角凑到一块儿了，但三个角之间有的有重叠，有的之间有间隙，所以，这样的折法无法验证三角形内角和为180度.上述折法中存在重叠与间隙，我想如何消除这些问题呢是不是因为折三角形的时候太随意了，没有遵守一定的原则才会导致如此结果忽然想到三角形的任意一条边都可看作一个平角，如果以任意一边为基准来折叠，把这
5、条边所对的角折下来看看.经反复尝试就把三个角拼成了一个平角，这时图形变成了矩形.折出矩形后，才发觉，第一条折痕是整个三角形的一条中位线，且在整个折的过程中具有相当强的对称性.通过对话协商梳理出如下思维过程:尝试一一发现问题一一发现线索一一提出想法一一检验一一回顾或反思.杜威（介绍）：感觉到问题的存在一一对问题进行试验性的解释一一提出各种解决办法使假设更加精确一一检验假设.2、问题2解答的思维过程(1)由两个小组的代表介绍他们的思维过程.(2)提供以下解答过程:解法:设 AB CEa, BC DE b, AFBcosuur uuu uuuruuur uuruuuuuur uuuruur uuuA
6、D BE(ACCD) (BCCE)AC BCCD CEV2uuurADuuuBEuuuADuuuBEuuuADuuuBE2,则(0,),所以045 .解法2：如图，分别作矩形 ABGH与BCEJ ,使矩形ABGH与BCEJ全等，连结BH ,HE ,则，BH BE,BH BE,ADPHE,从而,AFB HEB 450.结合学生提供的解法，提炼出如下思维活动过程:将已知信息赋予某种具体的“身份”寻找可能有用的关系一一利用相关的知识审视解题过程.（二）数学问题解决模式1、数学题解认知模式（喻平）理解问题*选择算子应用算子詈结果评价思维监控K工作记忆知识基础解题策略长时记忆问题表征模式识别+知识迁移问
7、题3：已知a,b,cR,求证：a3b解答过程：aabbcc3bccaab商.人abca令一x,一y,z,则发现一bcabxyzx3发现zxyzxyz_yz,x2.1联想至Uzxyzyz2乙隹1142而一J233)c3abc.思维过程：a3b3c33abc是轮换对称式，联想到与b,旦与c,b与均互为倒数，想到换元法.acacb:yy，一，=-,想到消兀法.:xz-2,口，检验：等号成立的条件是x2yz.x,z/-1发现2?1倒数，想到降哥，检验yyz等号成立的条件是yz.提取基本不等式.2、数学题解认知模式案例zy所以，xy-3.zxy解题回顾：(1)整个过程是一个降哥、消元的过程.(2)对于2
8、,y3又找到了两种处理思路：zy配方法：*彳*1)2哧秒函数求导法：令1-t,则2m-t22,y1zyt(3)整个过程共用了三次不等式a2b22ab,此，产生如卜配方法：a3b3c33abc(a3b3)2c(c.ab)2(三)数学解题过程的本质1、数学问题解决的含义13,对此式求导即可.叵每用一次就相当一次配平方，因27ab(cVab)20.数学问题解决就是解题者在自己的长时记忆中提取解题图式用于新的问题情境的过程.解题图式包括个体已有的与新问题有关的知识基础、解题策略和解题经验.数学解题学习就是学会数学地思维的一种探究性学习活动，具体地讲，就是学生在对有价值的数学题的探索性学习活动过程中，实
9、作性的理解数学基本知识、形成数学基本技能、体会数学基本思想的运用、积累数学基本活动经验，以增进和提高数学地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.2、数学解题过程的本质(1)解决问题是一种学习的过程加涅：问题解决是一种产生高级规则的学习过程.涂荣豹：问题解决是一种有意义学习过程.(2)解题学习是个体建构知识的过程解题学习是一个积极主动的建构过程；是一种双向的建构过程(通化与顺应)；是一种多元的建构过程.(3)解题学习的本质是社会建构数学知识是一种社会建构，本质上一种社会约定.个人建构的数学知识被看做是“个人意义”与“文化意义”的一种融合.(四)“问题表征”与“模式识别”的基本策略1、问题
10、表征(1)问题表征的含义问题表征是指根据问题所提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构，构建自己的问题空间的过程，也是把外部的物理刺激转变为内部心理符合的过程.问题表征质量的高低将会直接影响到问题的解决.问题4：已知：a,b(0,1),求证：-a2b2,(1a)2b2.a2(1b)2(1a)2(1b)222表征1：将每个根式看做某个直角三角形的斜边；表征2:将每个根式看做两点间的距离；表征3:将每个根式看做某个向量的模；表征4;将每个根式看做某个复数的模.(2)问题表征的基本线索未知量是什么已知数据是什么条件是什么条件有可能满足吗条件是否可以确定未知量或者它不够充分或者多余或者矛盾画张图
11、，引入适当的符号.把条件的不同部分分开.你能否把它们写出来吗2、模式识别（1）模式识别的含义模式识别是知觉信息与长时记忆中的有关信息进行比较，再决定它与长时记忆中哪个项目有着最佳匹配的过程数学模式是指形式化地采用数学语言，概括地或近似地表述某种事物系统的特征或数量关系的一种数学结构（2）模式识别的基本途径你以前见过它吗或者你见过相同的题目一种稍有不同的形式出现吗你知道一道与它有关的题目吗你知道一条可能有用的定理吗观察未知量，并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目这里有一道与你的题目有关而且以前解过，你能利用它吗你能利用它的结果吗你能利用它的方法吗为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元素你能重新叙述这道题目吗你还能以不同的方式叙述它吗回到定义去三、学习评价1、梳理本节课的知识要点；2、学习了数学解题思维模式，你对自己的解题有了哪些不同的认识3、你认为提高“模式识别”有效性的策略有哪些四、反思拓展1、阅读波利亚的名著怎样解题，通过自己的解题案例来说明，书中提出的解题的四个步骤2、阅读下列文献，并根结合自己的解题经历，举例说明形成数学活动经验的过程与条件1王新民.论数学活动经验的基本内涵及其形成条件J.课程教材教法，2013,33（11）:55-60.2郭玉峰，史宁中.数学基本活动经验：提出、理解与实践J.中国教育学刊，2012,（4）：4245
