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1、初中函数复习一、基本概念1、常量和变量:在变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。2、函数：定义:一般的,设在一种变化过程中有两个变量x与y，如果对于变量的每一种值,变量y均有唯一的值与它相应，我们称y是x的函数。其中x是自变量，是因变量。函数的表达措施:列表法、图象法和解析法。自变量取使函数关系式故意义的值,叫做自变量的取值范畴。函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0;函数的解析式是二次根式时,自变量的取值要使被开方数是非负数;对实际问题中的函数关系,要使实际问题故意义。二、初中所学的函数、正比例函数：(1)、正
2、比例函数的定义:形如的形式。自变量与函数之间是倍的关系一般状况下,当作自变量，作为函数（2)、正比例函数的性质正比例函数y=kx的图象是通过(，0),（,k)的一条直线。当时,图象从左到右是上升的趋势,也即是随的增大而增大。过一、三象限。当时,图象从左到右是下降的趋势,也即是随的增大而减小。过二、四象限。yxoyxo k0 k0 注意：由于正比例函数y=x （k0)中的待定系数只有一种k,因此拟定正比例函数的解析式只需x、y一组条件,列出一种方程,从而求出k值。、一次函数(1）、一次函数的定义：形如的形式;自变量与常量的乘积,再加上一种常量的形式。(2)、一次函数与正比例函数的关系 属于正比例
3、 一次函数不属于b0b=0yxo()、一次函数的图象性质b=0b0yxo一次函数ykxb的图象是通过（0,b)(k/，0)的一条直线,也可由=k平移得到 当k0时，y随的增大而增大,b时,图象过第一、二、三象限，b0时,图象过一、三、四象限当k时，随x的增大而减小，b0时,图象过第一、二、四象限，b时，图象过二、三、四象限注意：一次函数yx+(k0)中的待定系数有两个k和b,因此要拟定一次函数的解析式需x、y的两组条件,列出一种方程组，从而求出和b。3、反比例函数(1）、反比例函数的定义：形如y=(为常数,）的形式；x的取值范畴是x0,y的取值范畴是y(2）、反比例函数的性质 反比例函数y=的
4、图像是双曲线（两个分支)当k0时，图像的两个分支分别在第一，三象限内；在每个象限内,y随x的增大而减小当k0 k0 对称 性:反比例函数y=的图像是轴对称图形，对称轴是直线=x或直线y=x,也是中心对称图形,对称中心是原点在一种反比例函数图象上任取两点P，Q,过点P,Q分别作x、轴,轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为1,2，则S1S =|k。设R是双曲线上任意一点,过P作x轴的垂线,垂足为A，则注意：由于反比例函数 (k)中的待定系数只有一种k，因此拟定反比例函数的解析式只需、y一组条件，列出一种方程，从而求出k值4、二次函数(1)、二次函数的定义：形如ax2+bx+（a0）的函数称为二次函
5、数,其定义域是R。(2）、二次函数的解析式：一般式:=x2bx+（a0)；对称轴为,顶点坐标为.顶点式:（);对称轴为x=h,顶点坐标为(h，k)零点式(两根式）:a（x1）（x2)(a0),其中，x1、2是函数=x+bx（a0)的零点（或是方程ax2+的两个根)。（）、二次函数的图像:二次函数的图像是一条抛物线（4）、二次函数的图像的性质：开口方向:当a0时,开口向上;当0时,开口向下；顶点坐标：;对称轴方程：;当时，当时,随的增大而减小；当时,随的增大而增大;当时，有最小值；当时，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小;当时,有最大值.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式
6、，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时,抛物线的解析式才可以用交点式表达.二次函数解析式的这三种形式可以互化. （5）、二次函数图象的平移保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处,具体平移措施如下:平移规律 在原有函数的基本上“值正右移,负左移;值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”.一定要记住!（6)、二次函数的图象与各项系数之间的关系 二次项系数；二次函数中，作为二次项系数，显然. 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小,反之的值越小，开口越大; 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.总结起来，决定了抛物线开口的大小和方
7、向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小. 一次项系数; 在二次项系数拟定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下,当时，,即抛物线的对称轴在轴左侧；当时,，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的右侧在的前提下，结论刚好与上述相反,即当时,，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，,即抛物线的对称轴就是轴；当时,，即抛物线对称轴在轴的左侧.总结起来,在拟定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负
8、. 总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置. 总之,只要都拟定,那么这条抛物线就是唯一拟定的二次函数解析式的拟定：根据已知条件拟定二次函数解析式，一般运用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择合适的形式,才干使解题简便一般来说，有如下几种状况:(1）. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;（2). 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式；(3) 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式;（）. 已知抛物线上纵坐标相似的两点，常选用顶点式（7)、二次函数图象的对称，当成结论重点记忆。 二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式体现
9、有关轴对称 有关轴对称后,得到的解析式是;有关轴对称后,得到的解析式是； . 有关轴对称 有关轴对称后，得到的解析式是; 有关轴对称后，得到的解析式是; .有关原点对称 有关原点对称后，得到的解析式是； 有关原点对称后,得到的解析式是；. 有关顶点对称 有关顶点对称后，得到的解析式是；有关顶点对称后，得到的解析式是 有关点对称 有关点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的体现式时,可以根据题意或以便运算的原则，选择合适的形式,习惯上是先拟定原抛物线(或体现式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再拟定其对
10、称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的体现式(8）、二次函数与一元二次方程：. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点状况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊状况.图象与轴的交点个数:(1). 当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离. (中考常考，重点记忆)(2).当时，图象与轴只有一种交点;(3）. 当时,图象与轴没有交点当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，均有; 当时，图象落在轴的下方,无论为任何实数，均有. .抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,; . 二次函数常用解题措施总结: 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元
11、二次方程; 求二次函数的最大(小)值需要运用配措施将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，,的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象有关对称轴对称,可运用这一性质,求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一种交点坐标,可由对称性求出另一种交点坐标.抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一种交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 与二次函数有关的尚有二次三项式,二次三项式自身就是所含字母的二次函数;下面以时为例，揭
12、示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 练习一1、小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y(元）与购买这种商品的件数（件）之间的函数关系是_,x的取值范畴是_;2、函数=的自变量x的取值范畴是_;3、一根弹簧原长1厘米，它所挂的重物不能超过1公斤,并且每挂重量1公斤时，弹簧就伸长.5厘米。写出挂重后弹簧的长y（厘米)与挂重（公斤)之间的函数关系式;求自变量的取值范畴。4、如图，在边长为4的正方形ABCD的四边A、BC、C、上顺次截取AP=BCR=DH，得到正方形H,求正方形QRH的面积S和AP的长度x之间的函数关系式和自变量x的取值范畴。 、如图，在直角梯形ABCD中，=2，C10，AD16。在斜腰B上任取一点P,过P点作底边的垂线，与上下底分别交于、。设E长为，PF长为y。求与x的函数体现式和自变量x的取值范畴;如果SD=SPB ,P点应取在什么地方?A B C DE F P 6、 已知y与3成正比例,当=8时,=-12,求y与x的函数解析式。7、已知2-与x+成正比例，且x=时，y=5,()求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；（2）若点(a，2）在这个函数的图象上，求a.8、一种一次函数的图象，与直线=2x+1的交点M的横坐标为2,与直线y=x+的交点N的纵坐标为1，求
