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1、第九章 重积分(一)1填空题(1) 设，定义于，则 (2) 设曲顶柱体的顶面是，侧面是母线平行于轴，准线为的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为。(3) 在极坐标系中，面积元素为。2利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) 与，其中积分区域由轴，轴以及直线所围成。解：在区域内，两边乘以，得，故由性质得：(2) 与，其中积分区域是由圆周所围成。解：令两被积函数相等，得或，直线与圆周交点为由图知：位于的半平面内故，因而。3利用二重积分性质，估计积分的值，其中是圆形闭区域。解：因为，故，故4交换积分的积分次序。解：由积分上下限画出积分区域，故重积分交换积分次序为：。5交换积分的积分次序
2、。解：画出积分区域图，易知。6交换二次积分的积分次序。解：积分的上下限作出积分区域的图形，原式。7计算，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。解： 。8计算，其中是顶点分别为，和的三角形区域。解：原式 9计算，其中是顶点分别为，和的梯形闭区域。解：原式 10计算二重积分，其中区域由曲线与围成。解：解，得交点， ：， 原式11计算二重积分，其中是由圆周及轴所围成的右半闭区域。解：原式 12计算，其中是圆环域。解：在极坐标系下计算积分的边界曲线的极坐标方程为：，极点在内，射线与的边界交于两点，故原式。13计算，：，。解：原式 14计算二重积分，其中：。解：在极坐标下计算 原式 15计算。解：需改变
3、积分次序才能完成积分，积分区域如图所示 原式 16求区域的面积。解：区域在极坐标下可表示为 故区域的面积为： 17求由，围成的平面图形的面积。解：设所求面积为，由，得交点， 18求椭圆抛物面与平面所围成的立体体积。解：考虑到图形的对称性，只需计算第一卦限部分即可 即 故 19设平面上半径为的圆形薄片，其上任一点处的密度与该点到圆心的距离平方成正比，比例系数为，求该圆形薄片的质量。解：建立坐标系如图。则，在处的密度为，取的微元，于是 化为极坐标，有，于是20由圆，所围成的均匀薄片，面密度为常数，求它关于坐标原点的动惯量。解：由题意知转动惯量 (二)1选择题设空间区域：，：，则（B）A B C D
4、2根据二重积分性质，比较下列积分大小：(1) 与，其中是三角形区域，三顶点分别为，。解：经过顶点与的直线方程为，由于区域在该直线下方，所以区域中的点满足，因而满足。类似地又知区域中的点满足，因而满足，进一步可知，在不等式两边乘以得，因而有。(2) 与，其中是矩形闭区域：，。解：在上有，所以，因而有。3估计积分值，其中是由圆周围成。解；以下求出被积函数的最大，最小值，再由二重积分性质估计积分值。在内部，因此在区域内设有驻点，故最值一定在边界上达到，作-函数：令，解得驻点为，比较得，积分区域的面积，于是。4估计二重积分的值。解：以下用二重积分的中值定理估计积分值，其本质上与用单调性估值是一致的，因
5、为在闭区域上连续，所以在上至少有一点，使得，显然，而，所以5交换二次积分次序。解：原式。事实上，由图即可知积分区域是由三条直线，所围成。6交换二次积分的次序：。解：积分区域：，积分区域，：，：，：，则。7改变积分次序。解：由积分上下限画出积分区域，积分区域是由上半圆周，抛物线，；与直线三者所围成。原式。8计算二重积分，其中是由直线，及双曲线所围成的区域。解：采用先后的次序积分(先后将带来困难)原式 9计算二重积分。解：直接计算有困难，先交换积分次序，原式 10计算积分。解：先对积分较困难，先对积分可以用凑微分法求得，因此交换次序，原式 11其中是由所确定的闭区域。解：原式 12，其中是由直线，
6、及所围成的闭区域。解：原式 13计算，其中由抛物线及直线所围成。解：画出的图形，选择先对积分，这时表示为：，从而原式 14计算。解：按原式所给的次序计算积分，需进行二次分部积分，若交换积分次序，求积分较易，将：，重新表示为：，则原式 15计算，是由曲线，所围成的区域。解：原式 16计算。解：本题采用极价值计算：原式 17计算，其中为在第一象限的部分。解：采用极坐标计算：原式 18计算。解：利用函数和积分区域的对称性，原式(为积分区域在第一象限的部分) 19计算。解：由于积分区域是一个正方形，坐标轴将分成四个相等的子区域，被积函数关于这四个子区域是对称的，故原式 20计算解：根据绝对值，将积分区
7、域分成两部分， 记区域为，：，；：，则原式 21计算三重积分，其中由三个坐标面与平面所围成。解：先对积分，的变化范围是，可表示为：，原式22计算，其中是平面和三个坐标平面所围成的区域。解：原式 。23计算积分。解：其中下底为平面，上底面为平面，它在平面上的投影是由，以及所围成，于是 注：若将投影在平面上再进行计算，则24计算积分，其中为第一象限中由旋转抛物面与圆柱面所围成的部分。解：采用柱面坐标计算原式 25计算，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面，所围的立体。解：用柱坐标计算 。26求由下列曲面所界的体积，。解：由题意，积分区域是轴，轴及直线围成的三角形，于是 27求由圆锥面与旋转抛物
8、面所围立体的体积。解：选用极坐标计算以下求立体在平面上的投影区域：由，得，(舍)因此，由，即围成故得。28求平面被三坐标面所割出部分的面积。解：所求平面在面上的投影区域为以、为直角边的直角三角形。，。 29求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。解：由对称性可知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面上的部分面积的16倍，这部分曲面的方程为 30一个物体由旋转抛物面及平面所围成，已知其任一点处的体密度与到轴的距离成正比，求其质量。解：由题意，密度，于是物体的质量为，其中为曲面及平面所围成的区域。在坐标面上的投影区域为圆，过内的任意点引平面于轴的直线，其与表面相交两点的竖坐标分别是与
9、，于是 注：在圆域上二重积分是用极坐标计算的。31求由圆，所围成的均匀薄片的重心。解：两圆所围成的区域如图所示。由图形的对称性知，该薄片的重心在轴上，即。又，而 ，所以，故所求重心坐标为。32一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域是由曲面和平面，所围成的。(1) 求其体积；(2) 求物体的重心；(3) 求物体关于轴的转动质量。(1) 由图形的对称性知： (2) (3) (三)1将下面积分化为重积分，并求的值。，其中，为常数。解：根据积分限画出积分区域，采用极坐标计算。由两个积分限，及，得积分区域是在第一角限中由半径，的两上同心圆：，；轴及直线所围成，以下利用极坐标计算。 2设区域为图中斜线部分，
10、试将二重积分化为两种次序的二次积分。解：由，求得交点坐标，抛物线与轴的交点坐标为，则 。3计算三重积分，其中是由曲面与所围成的区域。解：由于曲面是一个圆锥面，曲面是上半单位球面，因此选用球面坐标计算最方便。作球坐标变换，则曲面在坐标系中的方程为，曲面在的坐标系中的方程为，。因此积分区域变成：，注意到，因此 4计算，：。解：本题可利用三角函数的周期性解。作极坐标变换，则：，于是原式 其中，。由周期函数的积分性质，有原式5设连续，且，其中是由，所围区域，求。解：注意到是个数。令，则是常数，此时，等式两边同时取二重积分得即，得，故6(1) 计算，其中； 解：积分区域在极坐标系下表示为 ，则 . (2) 试证。证：考虑正方形区域，于是作内切圆域与外接圆域，于是，因，故有由(1)的结果，得令，由夹逼准则，得即因此，广义积分收敛，其值为，因为偶函数，故，即7求曲面：上任一点的切平面与曲面：所围立体的体积。解：以下先求切平面方程，然后求切平面与的交线，它在平面上的投影，最后求体积。(1) 先求切平面方程设是上任意点，则，在点的法向量，切平面方程是，即(2) 求切平面与的交线及切平面与所围立体在平面的投影区域。交线在平面的投影是，即。它围成的区域记为，即在平面投影区域。(3) 求的体积 令，上式 8设，其中为连续函数，存在，且，求。解：先用球面坐标表示三重积分，再用洛必达法则求出。 ， 21
