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1、第二章 高斯噪声背景下谐波恢复数学模型2.1 高斯过程高斯过程又称正态随机过程,它是一种普遍存在和重要的随机过程.所谓高斯过程,即指它的任意n维概率密度函数由下式表示的过程,即式中|B|-归一化协方差矩阵的行列式,即-行列式|B|中元素的代数余因子;-归一化协方差函数:由上式可以看出,正态随机过程的n维分布仅由各随机变量的数学期望,方差和协方差决定.一维高斯正态分布的概率密度函数可写为:式中,及是两个常量(均值和方差).高斯噪声一般分为白噪声和有色噪声。功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，被称之为白噪声，即白噪声的自相关函数为 显见，白噪声的自相关函数仅在时才不为零；这说明，白噪声只有在
2、零点才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。有色噪声与白噪声不同，它的功率谱在整个频段上不是均匀分布的。22 谐波恢复的数学模型高斯噪声背景下的谐波恢复，主要是利用特征子空间分析的方法，对观测值进行处理从而估计出原始信号的频率等参量特征，即完成了在噪声背景下对信号的恢复。我们首先对特征子空间进行分析。从几何意义上说协方差几何空间=信号子空间+噪声子空间我们所要做的就是从大的空间抽取低秩子空间，对信号进行分解处理。下面将要介绍的Pisarenko,MUSIC,Prony,ESPRIT等方法其核心思想都是由此而来的。设观测信号模型：y(n)=x(n)+w(n)其中，为信号幅度 为谐波信
3、号频率为相位在均匀分布的参量p为谐波个数w(n)为零均值方差为的高斯白噪声构造协方差矩阵设R=S+W ：S表示信号协方差矩阵，W表示噪声协方差矩阵。其中： 下面我们对协方差矩阵R进行分析：R=S+W 首先我们来说明R为什么等于S+W.y(n)的自相关函数对应矩阵各项可知R=S+W.现在对矩阵R进行分析：(1)设分别是矩阵S的特征值和特征向量，则 i=1M讨论：因为Mp，信号阵的秩必为p。所以S阵有p个非零特征值（i=1p）,M-p个零特征值（i=p+1M）。(2)W=I 由于 所以讨论：（1）R阵与S阵具有相同的特征向量，且 （2） 是信号特征对 是噪声特征对 分别记： 由信号向量张成的子空间
4、叫做信号子空间，而有噪声向量张成的子空间叫做噪声子空间。 （3）矩阵R的特征值由以上结论我们可以看出，信号向量和噪声子空间中的所有向量（包括它们的线性组合）是正交的。即由于此结论十分重要我们在此进行证明。展开上式即有 证毕；利用信号向量和噪声空间的正交性进行信号恢复的方法称之为噪声子空间方法。第三章 算法概述与分析定义观测信号的空间协方差矩阵为 R=Ey(n)yH(n) (3.1)设噪声方差为，由假设得 R=EAs(n)+w(n)As(n)+w(n)H =E As(n)+w(n) As(n) H + w H (n) =E As(n)+w(n) s H (n) A H+ w H (n) =E A
5、s(n) s H (n) A H + w(n) s H (n) A H + As(n) w H (n)+ w(n) w H (n) =EAs(n) s H (n) A H+Ew(n) s H (n) A H+ EAs(n) w H (n) +Ew(n) w H (n) =ASA H+IM (3.2)其中，S=Es(n) s H (n)，IM为单位阵。注意到(3.1)式表达的是观测信号的“统计平均”。我们认为通信中的随机过程是平稳随机过程，而平稳随机过程具有各态历经性，所以在这里，我们可以用观测信号的“时间平均”来代替“统计平均”，即 R中各元素的估计为：故可得R的估计为 (3.3)3.1 Pi
6、sarenko谐波分解法在Pisarenko谐波分解法中，考虑的是由p个实正弦组成的确定性过程 (3.1.1) 我们假定，初始相位是在均匀分布的独立随机变量，它在一次实现中为常量。先来推导过程x(n)满足的差分方程。为此，先来考虑单个正弦波的情况，即.将三角恒等式中的正弦函数换乘x(n)后，得到二阶差分方程式上式两边去z变换，得这样，我们就得到特征多项式它有一对共轭负根即共轭根的模为1，即，由它们可决定正弦频率通常我们取正的频率。显然，如果p个实正弦波没有重复频率的话，则着p个频率也应由特征多项式或 (3.1.2)的根决定。易知，且系数是对称的，即 (3.1.3)与式(3.1.2)对应的差分方
7、程为 (3.1.4)进一步的，我们来考虑白噪声中的正弦波过程：y(n)=x(n)+w(n) (3.1.5)其中w(n)是一零均值、方差为的高斯白噪声，即w(n)WN(0, )。 将式(3.1.5)代入式(3.1.4)，立即可得 （3.1.6） 这表明白噪声中的正弦波过程y(n)是一个特殊的ARMA(2p,2p)过程，其AR参数与MA参数相同。 为了推导AR参数满足的方程，令 (3.1.7)于是式(3.1.6)可以写成一下矩阵形式： (3.1.8)用向量y左乘式(3.1.8)两边，并取数学期望得到 (3.1.9)若，则显知，将上述关系代入式(3.1.9),得特征方程 (3.1.10)式(3.1.
8、10)表明，是自相关矩阵的特征值，而a是对应特征值的特征向量。式(3.1.10)组成了由Pisarenko发展的谐波分解方法的基础。这样一来，谐波恢复问题就转化成了自相关矩阵的特征分解。归纳起来，利用Pisarenko分解法确定阶数p和正弦波频率f的步骤如下。(1)计算矩阵 (m2p)的特征分解。（2）求矩阵R最小特征值，即为，并用表示的多重度。然后将R将结为m+1-,即取前m+1-行和列组成新矩阵R1,重复这一步直至从某一阶降至下一阶，最小特征值不变。这样，即可定出p，与最小特征值对应的特征向量各分量用表示。（3）求多项式的根，有（4）将上式的根记为，其中，由此定出（取正值）无噪声的正弦波过
9、程(2.11)式的自相关函数为其中，。因此，白噪声中的正弦波y(n)=x(n)+w(n)的自相关函数,故有写成一式为因此接收信号y(n)的功率谱由上式的傅里叶变换可得下面进行仿真实验：信号：噪声：高斯白噪声，方差为1，均值（E）为0E =0.4715 1.4349 Pisarenko谐波分解法在理论上首次揭示出了相关矩阵对应于最小特征值的特征向量的系数即为正弦波过程的ARMA模型的AR参数。但是作为一种算法，pisarenko算法并不有效，实用。3.3 MUSIC法从原理上讲，Pisarenko分解时将自相关矩阵分解成信号子空间（对应与大特征值的特征向量）和噪声子空间（对应于噪声方差的特征向量
10、）。由于特征多项式的根决定正弦频率，而多项式的系数又是由对应于噪声方差的特征向量决定的，所以Pisarenko分解实质是一种噪声子空间方法。Pisarenko方法不是一种十分有效的实际算法，但MUSIC和下面将要介绍的ESPRIT方法却十分有效。MUSIC是多重信号分类（Multiple Signal Classification Characterrization）的英文缩写。信号处理中的几个重要问题都可以归结为估计下列模型的参数： (3.3.1)式中，是带噪声的数据向量，是信号幅值的向量，代表加性噪声，而矩阵具有下面的特殊结构： (3.3.2)这里，是实的参数，是第I个信号与y(t)之间的
11、传输向量，且对以上模型，我们做以下假定。A1:mn,且对应于不同值的向量是线性独的。A2:这里H代表向量的共轭转置，T代表转置。A3：矩阵是非奇异的，且Nm.当满足假设条件时，观测向量y(t)的协方差矩阵由 （3.3.3）给定。为方便计，我们将简记为A。注意到R是一对称阵，其特征值分解具有下列形式：，其中，对角线元素叫做R的特征值。在A1条件下，矩阵A显然是非奇异的，即rank(A)=n从而，在A3条件下的秩也为n。因此R的特征值必须满足下列关系：不妨令分别对应的特征向量为，而,对应的特征向量为，定义S和G分别叫做信号子空间和噪声子空间。于是，特征矩阵U分为两个子矩阵U=S|G。我们的兴趣是研究噪声子空间G和矩阵A之间的关系。一方面，由于和G分别是R的特征值和对应的特征向量，故有特征方程 (3.3.4)另一方面，用G右乘式(3.3.3)，又有 (3.3.5)综合上面两式给出 从而有 。由于P是非奇异的，所以 (3.3.6)上式又可写作 (3.3.7)由于U是酉阵，故于是式(3.3.7)也可写作 (3.3.8)MUSIC算法的基本思想是对真实相关阵R使用性质(3.3.7)或(3.3.8)。在实际应用中，R是未知的，但它可从观测数据一致估计，即用下式计算类似于R的特征分解，令表示R的归一化特征向量，且按特征值降序排列，定义 （3.3.9）= (3.3.10)一般地说，当n
