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1、第2讲数列求和问题考情研析1.从具体内容上，高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想2.从高考特点上，难度稍大，一般以解答题为主，分值约为78分核心知识回顾常见的求和方法(1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n项和对等比数列利用公式法求和时，一定注意公比q是否取1.(2)错位相减法：主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列(3)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂项后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的数列的前n项和(4)分组求和法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列
2、，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并(5)并项求和法：当一个数列为摆动数列，形如(1)nan的形式，通常分奇、偶，观察相邻两项是否构成新数列热点考向探究考向1 分组转化法求和例1(2019天津南开区高三下学期一模)已知数列an是等差数列，Sn为其前n项和，且a53a2，S714a27.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为2的等比数列，求数列(1)nbn(anbn)的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差是d.由a53a2得a14d3(a1d)，化简得d2a1，由S714a27得da11，由解得a11，d2.所以数列
3、an 的通项公式为an2n1.(2)由数列anbn 是首项为1，公比为2的等比数列，得anbn2n1，即2n1bn2n1.所以bn2n12n1.所以(1)nbn(anbn)(1)n2n1(2n12n1)(1)n4n1(2)n1(2n1)(4)n1(2n1)(2)n1.Pn(4)0(4)1(4)n1 ，Qn1(2)03(2)15(2)2(2n3)(2)n2(2n1)(2)n1，2Qn1(2)13(2)25(2)3(2n3)(2)n1(2n1)(2)n，得3Qn1(2)02(2)12(2)22(2)n1(2n1)(2)n1(2n1)(2)n(2)n.Qn(2)n.TnPnQn.若一个数列是由两个或
4、多个等差、等比数列的和差形式组成，或这个数列可以分解成两个或多个等差、等比数列的和差形式，则可以根据数列的结构对原数列求和式的各部分重新组合，进而使用等差、等比数列的求和公式进行求和解题的关键是观察结构、巧分组等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cn设数列cn的前n项和为Tn，求T2n.解(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，则由a13，b11及得解得所以an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1，得Snn(n2)则cn即cnT2n(c1c3c2n1)(c2c
5、4c2n)(22322n1)1(4n1)考向2 裂项相消法求和例2(2019甘青宁高三3月联考)设Sn为等差数列an的前n项和，已知a75，S555.(1)求Sn；(2)设bn，求数列的前19项和T19.解(1)Sn19n42n221n.(2)设bn2n21，则，故T19.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和适用于数列的求和，其中数列an是各项不为0的等差数列，c为常数已知数列an的前n项和是Sn，且满足Snan2n1(nN*)(1)求证数列an2是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)求证：.解(1)因为Snan2n1，所以当n1时，a1a121，解得a
6、1.当n2时，Sn1an12(n1)1，由，得anan1an2，即anan11，即an2(an12)，所以数列an2是等比数列，其首项为a12，公比为，所以an2n，所以an2n.(2)证明：，所以.考向3 错位相减法求和例3(2019东北三省三校高三二模)已知Sn是数列an的前n项和，Snn22n，等比数列bn的公比为4，且a25b1.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)当n2时，Snn22n，Sn1(n1)22(n1)，anSnSn12n1，当n1时，a1S13满足上式，综上，an2n1.5b15，b11，bn4n1.(2)anbn(2n1)4n1
7、，Tn354742(2n1)4n1，4Tn34542(2n1)4n1(2n1)4n，得3Tn32(4424n1)(2n1)4n32(2n1)4n4n，Tn4n.错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和但要注意相减后得到部分等比数列，求和时一定要弄清其项数；另外还要注意首项与末项(2019福建高三毕业班3月质检)数列an的前n项和Sn满足Sn2ann.(1)求证数列an1是等比数列，并求an；(2)求证：若数列bn为等差数列，且b3a2，b7a3，求数列anbn的前n项和Tn.解(1)当n1时，S12a11，所以a11.因为Sn2ann，所以当n2时，Sn12an
8、1(n1)，得an2an2an11，所以an2an11，所以2，所以an1是首项为2，公比为2的等比数列，所以an122n1，所以an2n1.(2)由(1)知，a23，a37，所以b3a23，b7a37，设bn的公差为d，则b7b3(73)d，所以d1，所以bnb3(n3)dn，所以anbnn(2n1)n2nn.设数列n2n的前n项和为Kn，数列n的前n项和为Mn，所以Kn2222323n2n，2Kn22223324n2n1，得Kn222232nn2n1n2n1(1n)2n12.所以Kn(n1)2n12，又因为Mn123n，所以KnMn(n1)2n12.所以数列anbn的前n项和Tn(n1)2
9、n12.真题押题真题模拟1(2019江西八所重点中学高三4月联考)已知数列an是等比数列，若ma6a7a2a4a9，且公比q(，2)，则实数m的取值范围是()A(2,6)B(2,5) C(3,6)D(3,5)答案C解析ma6a7a2a4a9，maq11aq142aq11，mq32，q(，2)，q3(5,8)，m(3,6)故选C.2(2019安徽马鞍山高三一模)数列an为等比数列，若a11，a78a4，数列的前n项和为Sn，则S5()A. B. C7D31答案A解析数列an为等比数列，a11，a78a4，q68q3，解得q2，ana1qn12n1，.数列的前n项和为Sn，S51.故选A.3(20
10、19南宁调研)已知an是等比数列，a22，a5，则a1a2a2a3anan1()A16(14n)B16(12n)C.(14n) D.(12n)答案C解析q3，q，a14，数列anan1是以8为首项，为公比的等比数列a1a2a2a3anan1(14n)故选C.4(2019天津高考)设an是等差数列，bn是等比数列已知a14，b16，b22a22，b32a34.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列cn满足c11，cn其中kN*.求数列a2n(c2n1)的通项公式；求ici(nN*)解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.依题意得解得或(舍去)，故an4(n1)33n1，bn
11、62n132n.所以，an的通项公式为an3n1，bn的通项公式为bn32n.(2)a2n(c2n1)a2n(bn1)(32n1)(32n1)94n1.所以，数列a2n(c2n1)的通项公式为a2n(c2n1)94n1.iciaiai(ci1)i2i(c2i1)(94i1)(322n152n1)9n2722n152n1n12(nN*)金版押题5已知函数f(x)在(1，)上单调，且函数yf(x2)的图象关于x1对称，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，则an的前100项的和为()A200B100 C50D0答案B解析函数f(x)在(1，)上单调，且函数yf(x2)的图象
12、关于x1对称，可得yf(x)的图象关于x1对称，又数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，a50a51122.S100a1a2a10050(a50a51)100.故选B.6已知等差数列an的前n项和Sn满足S36，S5，则数列的前n项和为()A1B2C2D2答案B解析设等差数列an的公差为d，则Snna1d，因为S36，S5，所以解得所以ann1，设数列的前n项和为Tn，则Tn，Tn，两项相减，得Tn，所以Tn2.配套作业一、选择题1(2019湖南永州高三第三次模拟)已知Sn是数列an的前n项和，且Sn1Snan1，a2a610，则S7()A20B25 C30D35答案D解析因为Sn是数列an的前n项和，且Sn1Snan1，所以an1an1，因此数列an是公差为1的等差数列，又a2a610，
