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1、空间几何向量法之点到平面的距离1. 要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量；求出该平面的法向量；求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这 就是该店到平面的距离。AB n例子：点A到面a的距离d = 注：AB为点A的斜向量，n是a面的法向量，n点B是面a内任意一点。2. 求立体几何体积向量法体积公式：1、柱体体积公式：V = Sh2、椎体体积公式：V = ! S.h 4 3、球体体积公式：V = n R3课后练习题例题：在三棱锥BACD中，平面ABD平面ACD，假设棱长AC=CD=AD=AB=1，且ZBAD=300, 求
2、点D到平面ABC的距离。要求平面a外一点P到平面a的距离，可以在平面a内任取一点A，那么点P到平面a的距离即为d=| PA | - I 色 nl = I PA, n I I PA l-l n I I n I建立如图空间直角坐标系，那么A - + ,0,0，B孑，2，C 0,0，D +,0,0）. AC = （火，AB =（孑0,*）, DC = （-孑0）设n = (x,y,z)为平面a的一个法向量，那么n AB =亏x + ,如=0 n AC = 2 x + % y = 0d代入.y = ; x, z fx,可取=(应侦)I DC n I-:d=土1 = 切 -, 一一_,-InI 得， K
3、 U，即点D到平面ABC的距离是节9。1- A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点，求点D到平面ABC的距离.解：设n = (x, y,z)是平面ABC的一个法向量，那么由nAB = 0及必匕=0,得一 2-2x - 2y + z = 0广-c c c八n，取x=3,得n = (3,2,-2),于是点D到平面ABC的距离为2x + 2y + 5z = 02iz = 一 一x3DAnd=:Tj=n49 49*17=17.2.四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC1平面ABCD，图N且GC=2,求点B到平面EFG的
4、距离.解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz，那么GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0).G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，A GE =(2,4,-2),设平面EFG的一个法向量为n = (x, y, z)，那么由n,GE = 0 及 n.GF = 0,得2x+4y - 2z = 04x + 2y - 2z = 0BE,n22，11v 1111x=y一，取y=1,得 n = (1,1,3),于是点B到平面EFG的距离为d= z = 3y3.在棱长为1的正方体ABCD-A BCD中，求点C到平面A BD的距离。111111解：建立如图3所
5、示的空间直角坐标系D-xyz，那么A(1,0,1),B(1,1,0),C (0, 1,1).设平面A/D的一个法向量为n = 3, y, z)，那么由n DA1 = 0及n DB = 0，得x + z = 0nx + y = 0z=-x_CDn2 2 的y_ x，取 x=-1,得n =(-1,1, 1),于是点 q 到平面 A/D 的距离为 d=一 = -j= 34.如图4，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB_CD_BD_2,AB_AD_i；2，求点E到平面ACD的距离.4解：由题设易知 AOBD，OCBD，AOA=1，OC= V 3，. OA 2+OC 2 =AC 2
6、，AZAOC=90 ，即 OAOC.以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，那 么 A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,容,0),D(-1,0,0), AE（|，导，0）, AD=（-1,0,-1）, AC =（。，3,-1）, ED=（-；,-,0）.2 匕2 匕设平面ACD的一个法向量为n = 3,y,z)，那么由nAD = 0及nAC =。，得x + z = 03y - z = 0x=-z5，取zM与得n =(*3,1，富),于是点E到平面ACD的距离为 y=z3EDn3 215-如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ZABC=90
7、, AB=BC=AA=2, M、N 分别是 Aid、BC1的中点.(I )求证：B平面A；(II) 求证：心平面AABB；(III) 求三棱锥M-BC1B1的体积.(I )VABC-A1B1C1 是直三棱柱，ABB1X平面A1B1C1，AB1BA1B1. 只厂 I* 只 A D I 习云而只厂厂D 只厂 I A DJ又 万1。1工八1万1， ABL平面 BCCB，. BCLAB.VBB1 = CB=2，ABC1B1C，ABC1 平面 A1B1C.(II)连接AB，由M、N分别为AC、BC1的中点，得MNA1B，又 ABu 平面 AABB，MN 平面 A1ABB1，AMN平面AABB1.（Ill
8、）取C1B中点M 连结MH.M是AC的中点，.MHAB，又A1B1平面BCC1B1,MH平面BCCfiMH是三棱锥M_BC1B1的高，.三棱锥 M-BCB 的体积 V = - * S，MH = - x - x 4x 1 =-1 13 勇CB3 236-如图，在三棱柱 ABC-ABC 中，AC 1BC, AB1BB1AC = BC = BB = 2, D 为 AB 中点，且CD 1 DA-1求证：BB- 1平面ABC(3)求三棱椎B -A DC的体积求证：质平面CAD7.如图，在棱长为2的正方体中，E,E别为DD DB的中点。1求证：EF 平面ABCD(2)求证EF 1 BC2求三棱锥B -EFC的体积。A1C1CB
