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1、摘 要本文主要介绍了三种不同场合下的中心极限定理的内容及其详细证明，进而探讨了各定理的适用范围及其在数学分析、概率统计和现实生活中的主要应用，另外讨论了这三种不同场合下的中心极限定理之间的关系.在定理的解释证明及应用方面，给出了三大定理较为详细的解释，并利用MATLAB来实现对中心极限定理的证明；在应用方面，举例说明了中心极限定理在近似计算、抽样推断以及如何利用正态分布近似产生正态随机数等方面的应用.其中，在近似计算中的应用中，主要包括在保险业、商场管理、统计推断及现代科学计算等领域中的应用.关键词: 中心极限定理,正态分布,特征函数,正态随机数,抽样推断,MATLABAbstractIn t
2、he paper, Central limit theorem and its proof in three different aspects are discussed. Whats more, the De Moivre - Laplace theorem, the Lindebery - Levy theorem and the Lyapounov theor opic include five chapters: the first chapter introduces tem and their detailed proofs. Then the topic gives the l
3、imits of every central limit theorem and the applications of mathematical analysis, probability and real life. In addition, it also discussestherelationship betweenthecentral limit theoremunderthree differentoccasions. In the interpretation of these theorems and their applications, it gives the deta
4、iled explanation of 3 big theorems, which makes a full of MATLAB to prove center limit theorem; in application, it gives the central limit theorem in approximate calculation, which mainly includes the insurance business, market management, statistical inference and modern scientific computing applic
5、ations, sampling inference and how to use the normal distribution approximately to produce normal random number.Key words: central limit theorem; normal distribution；Characteristic function；normal random variable；sample infer；MATLAB毕业论文（设计）诚信声明本人声明：所呈交的毕业论文（设计）是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，论文中引用他人的文献、数据、图表
6、、资料均已作明确标注，论文中的结论和成果为本人独立完成，真实可靠，不包含他人成果及已获得青岛农业大学或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。论文（设计）作者签名： 日期： 2013 年 3月 10 日 毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文（设计）作者同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅。本人授权青岛农业大学可以将本毕业论文（设计）全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本毕业论文（设计）。本人离校后发表或使用该
7、毕业论文（设计）或与该论文（设计）直接相关的学术论文或成果时，单位署名为青岛农业大学。论文（设计）作者签名： 日期： 2013 年 3 月 10 日指 导 教 师 签 名： 日期： 年 月 日目 录第1章 引言1第2章 预备知识5第3章 三种不同场合下的中心极限定理53.1 伯努利试验场合及棣莫弗拉普拉斯定理53.2 独立同分布场合及林德贝格勒维定理73.3 独立和的分布函数向正态分布函数收敛92.3.1 林德贝格定理92.3.2 李雅普诺夫定理143.4 三种场合下的中心极限定理的关系15第4章 用MATLAB实现对中心极限定理的模拟证明164.1 数学模型164.2 设计过程174.3 仿
8、真结果17第5章 中心极限定理的应用205.1 用中心极限定理证明较复杂的极限等式215.2 中心极限定理在近似计算中的应用215.2.1中心极限定理在保险业中的应用225.2.2中心极限定理在商场管理中的应用235.2.3中心极限定理在统计推断中的应用275.2.4中心极限定理在现代科学计算中的应用285.3 中心极限定理来近似产生正态随机数295.4 中心极限定理在抽样推断中的应用325.4.1 概率预测325.4.2 估计总体概率的样本容量推断335.4.3 总体容量的推断355.4.4用期望值作估计量的误差推断36第6章 结论37参考文献38III黄冈师范学院本科学位论文第1章 引言
9、在实际生活中，有许多随机变量是由大量相互独立的随机因素综合形成的，因而它们均可表现为大量的随机变量之和。例如：某城市一小时内的耗电量是由足够多的用户耗电量的总和；发生虫害的某一地区的害虫数是由许多块地区上的害虫数的总和。因此，人们常常将这类由大量独立的随机变量之和的随机变量及其分布规律进行研究。在许多的场合下，随机变量的极限分布均可归结为随机变量之和的极限分布。在随机变量的分布中，正态分布占有特殊重要的地位，人们常把它称为中心分布。诸如人的身高、体重、测量误差、产品的质量等等都是服从正态分布的随机变量。在某些条件下，也有很多不服从正态分布的独立的随机变量，当随机变量的个数达到一定的数量时，它们
10、的和的分布趋于正态分布。例如学生考试成绩的分布、射击命中点与靶心距离的偏差等。经观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个个别因素在总影响中所起的作用不大，则这种量一般都服从或近似服从正态分布。在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理。中心极限定理是大样本统计推断的理论基础，因而在现实生活中具有重要意义。有很多学者对中心极限定理及其应用方面得内容进行了探讨。如文献【1-3】对概率论与数理统计进行的研究，文献【4-6】则系统的对中心极限定理进行的阐述和证明，文献【7-17】则对中心极限定理的应用进行了列举，文献【18-22】是国外学者对中心
11、极限定理的相关探讨，受上述文献的启发，本文主要介绍了三种不同场合下的中心极限定理的内容及其详细证明，进而探讨了各定理的适用范围及其在数学分析、概率统计和现实生活中的主要应用，另外讨论了这三种不同场合下的中心极限定理之间的关系.在定理的解释证明及应用方面，给出了三大定理较为详细的解释，并利用MATLAB来实现对中心极限定理的证明；在应用方面，举例说明了中心极限定理在近似计算、抽样推断以及如何利用正态分布近似产生正态随机数等方面的应用.其中，在近似计算中的应用中，主要包括在保险业、商场管理、统计推断及现代科学计算等领域中的应用. 第2章 预备知识为了方便理解本文的知识，本文添加了相关概念和定理等。
12、定义11 若随机变量的概率密度为，为常数，则称服从参数为，的正态分布，记为。特别地，当，时，成服从标准正态分布。定义21 设是任一随机变量，称，是的特征函数。性质11 在上一致连续，且，。这里表示的共轭。性质21 是非负定的，即对任意的一组及复数，恒有，其中为任意正整数。性质31 设是的特征函数，则的特征函数为。性质 1 设，的特征函数分别为，又，相互独立，则的特征函数为。性质 1 若随机变量的阶阶矩存在，则的特征函数可微分次，且当时，。定理12（唯一性定理）若的特征函数为，则的分布函数在其连续点上的值为。当为连续型随机变量时，其特征函数绝对可积，即，的分布密度为。定理1 设为一随机变量序列，
13、它们相应的分布函数列为，对应的特征函数列为，若收敛于一连续函数，则存在一个分布函数，使其在的连续点上，有，而且就是分布函数的特征函数。第3章 三种不同场合下的中心极限定理定理3.11 设是相互独立的随机变量序列，它们有有限的数学期望和方差，且，令，若对于任意的，都有.则称服从中心极限定理.3.1 伯努利试验场合及棣莫弗拉普拉斯定理定理3.21 设随机变量服从参数为的二项分布，则。证：将看成是由n个相互独立且服从同一个分布的随机变量之和，即，其中的分布律为。由于，由中心极限定理知，。注：设在重伯努利试验中事件恰好发生的次数为，则，其中为事件在每次试验中出现的概率，为事件在每次试验中不出现的概率，
14、则随机变量服从二项分布，记为。这个定理表明，正态分布是二项分布的极限分布.如是次伯努利试验中事件出现的次数，即，当时，有。上式就是棣莫弗拉普拉斯的积分极限定理。定理3.31。由此可得一渐进算式：。证3： 。注：棣莫弗拉普拉斯定理直接用于二项分布的近似计算，它也用于频率与概率误差的计算，这主要体现在：。这类计算一般分为三种情况：（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知，求，在未知时，可利用可得的估计式。3.2 独立同分布场合及林德贝格勒维定理 定理3.41 设为相互独立、同分布的随机变量序列，且有有限的期望和方差，即，则随机变量 的分布函数，对任意的，都有。证1：先考虑标准化随机变量和。设的特征函数为，由特征函数的性质和性质的推论知，的特征函数为：。由于，故由特征函数的性质知，因此的泰勒级数展开式为。从而对任意固定的，有，。显然，为连续函数，由定理知，存在分布函数，使，其中为的分布函数，而为的特征函数。由特征函数的唯一性知，
