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1、龙源期刊网 http:/高等代数中的几个等价关系中“等”的涵义作者：李斐 1 郭卉 2 来源：考试周刊2013年第 38期摘要： 本文分别具体讨论了高等代数课程中的几个等价关系：矩阵等价，向量组等价， 矩阵相似，矩阵合同中的“等”字背后的涵义.关键词：等价关系矩阵向量组相似矩阵合同矩阵一个给定的集合中的元素之间的一个关系如果满足下面三个性质：(1)自反性，(2)对 称性，(3)传递性，我们称该关系为等价关系(equivalence relation 1)。在高等代数课程 中有几个重要的等价关系，就是矩阵的等价，向量组的等价，矩阵的相似，矩阵的合同这四个 等价关系。既然称之为等价关系，那么这里的
2、“等”字是否意味着什么相等呢？本文主要探讨这 些等价关系中“等”字的涵义。希望通过讨论，丰富对等价关系的感性认识，加深对代数学中这 一基础概念等价关系的理解。一、矩阵的等价对于矩阵A、B，如果A经过有限步初等变换成为B则称矩阵A与B等价2。根据 矩阵初等变换的定义，可以验证矩阵之间的这样的关系满足等价关系的三个性质，因此称之为 矩阵的等价。矩阵等价，这个“等”字之后意味着什么相等呢？如果矩阵A和B等价，也就是A经过有 限次的初等变换可以变成B,可见A与B首先得同型，即有相同的行数和列数；否则，A无论 如何都不能变换成B。其次，A和B应该有相同的秩，即r (A) =r (B)；因为初等变换不改
3、变矩阵的秩。反之，如果矩阵A和B同型且有相同的秩，是不是A与B等价呢？答案是肯定 的。一个矩阵通过初等变换总会变换成它的标准型，其标准型中左上角的单位子矩阵的阶等于 该矩阵的秩。如果矩阵A和B同型且有相同的秩，则A和B有相同的标准型，即A和B与同 个标准型等价，因此矩阵A和B等价。可见矩阵等价中的“等”字，实际是指它们同型且有 相同的秩。我们把上面的讨论归结为下面的定理。定理1 ：矩阵A和B等价的充要条件是它们的行数、列数和秩都对应相等。二、向量组的等价设向量组A ： a.，a. a. ； B ：阳，阳阳，若向量组B中的向量都能由A中的向量线性表示；反之亦然。那么称向量组A和B等价2。可以证明在该定义下这是一个
