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1、第6章 参数估计习题解答第6章 参数估计1，设总体未知，是来自的样本。求的矩估计量。今测得一个样本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求的矩估计值。解：因为总体，所以总体矩。根据容量为9的样本得到的样本矩。令总体矩等于相应的样本矩：，得到的矩估计量为。把样本值代入得到的矩估计值为。2，设总体具有概率密度，参数未知，是来自的样本，求的矩估计量。解：总体的数学期望为，令可得的矩估计量为。3，设总体参数未知，是来自的样本，求的矩估计量（对于具体样本值，若求得的不是整数，则取与最接近的整数作为的估计值）。解：总体的数学期望为 ， 二阶原点矩为。令总体矩等于相应的样
2、本矩：，得到，。4，（1）设总体未知，是来自的样本，是相应的样本值。求的矩估计量，求的最大似然估计值。（2）元素碳-14在半分钟内放射出到达计数器的粒子数，下面是的一个样本：6 4 9 6 10 11 6 3 7 10求的最大似然估计值。解：（1）因为总体的数学期望为，所以矩估计量为。似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。（2）根据（1）中结论，的最大似然估计值为。5，（1）设服从参数为的几何分布，其分布律为。参数未知。设是一个样本值，求的最大似然估计值。（2）一个运动员，投篮的命中率为，以表示他投篮直至投中为止所需的次数。他共投篮5次得
3、到的观察值为5 1 7 4 9求的最大似然估计值。解：（1）似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。（2）根据（1）中结论，的最大似然估计值为。6，（1）设总体，参数已知， 未知，是来自一个样本值。求的最大似然估计值。（2）设总体，参数已知，（0）未知，为一相应的样本值。求的最大似然估计值。解：（1）似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。（2）似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。7，设是总体的一个样本，为一相应的样本值。（1）
4、总体的概率密度函数为，求参数的最大似然估计量和估计值。（2） 总体的概率密度函数为，求参数的最大似然估计值。（3） 设已知，未知，求的最大似然估计值。解：（1）似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。相应的最大似然估计量为。（2）似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。（3）因为其分布律为所以，似然函数为 ，相应的对数似然函数为 。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。8，设总体具有分布律1 2 3 其中参数未知。已知取得样本值，试求的最大似然估计值。解：根据题意，可写
5、出似然函数为，相应的对数似然函数为 。令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。9，设总体，未知，已知，和分别是总体和的样本，设两样本独立。试求最大似然估计量。解：根据题意，写出对应于总体和的似然函数分别为 ，相应的对数似然函数为 ， ，令对数似然函数分别对和的一阶导数为零，得到，算出最大似然估计量分别为，。10，（1）验证均匀分布中的未知参数的矩估计量是无偏估计量。（2）设某种小型计算机一星期中的故障次数，设是来自总体的样本。验证是的无偏估计量。设一星期中故障维修费用为，求。（3）验证是的无偏估计量。解：（1）均匀分布中的未知参数的矩估计量为。由于，所以是的无偏估计量。（2）因
6、为，所以是的无偏估计量。（3）因为，所以，是的无偏估计量。11，已知是来自均值为的指数分布总体的样本，其中未知。设有估计量， ，。 （1） 指出中哪几个是的无偏估计量。（2） 在上述的无偏估计量中哪一个较为有效？解：（1）因为 ，。所以，是的无偏估计量。（2）根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出，所以，是比更有效的无偏估计量。12，以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设，今取得一容量为的样本，测得其样本均值为，求（1）的置信水平为0.95的置信区间，（2）的置信水平为0.90的置信区间。解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论，的置信水平为的置信区
7、间为。（1）的置信水平为0.95的置信区间为。（2）的置信水平为0.90的置信区间为。13，以X表示某种小包装糖果的重量（以g计），设，今取得样本（容量为）：55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.30, 52.57, 58.46（1） 求的最大似然估计值。（2） 求的置信水平为0.95的置信区间。解：（1）根据已知结论，正态分布均值的最大似然估计量和矩估计量相同：。所以的最大似然估计值为。（2）的置信水平为0.95的置信区间为。14，一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）16.0, 1
8、5.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.115.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.415.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8设样本来自正态总体，均未知。（1） 求的无偏估计值。（2） 求的置信水平为90%的置信区间。解：（1）的无偏估计值为， 。（2）的置信水平为90%的置信区间为15，一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得
9、样本均值分，样本标准差分。设样本来自正态总体，均未知。求干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间。解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间为。16，Macatawa湖（位于密歇根湖的东侧）分为东、西两个区域。下面的数据是取自西区的水的样本，测得其中的钠含量（以ppm计）如下：13.0, 18.5, 16.4, 14.8, 19.4, 17.3, 23.2, 24.9, 20.8, 19.3, 18.8, 23.1, 15.2, 19.9, 19.1, 18.1, 25.1, 16.8, 20.4, 17.4, 25
10、.2, 23.1, 15.3, 19.4, 16.0, 21.7, 15.2, 21.3, 21.5, 16.8, 15.6, 17.6设样本来自正态总体，均未知。求的置信水平为0.95的置信区间。解：根据题中数据，计算可得样本均值，样本方差。的置信水平为0.95的置信区间为17，设X是春天捕到的某种鱼的长度（以cm计），设，均未知。下面是X的一个容量为13的样本：13.1, 5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8, 23.0（1） 求的无偏估计；（2） 求的置信水平为0.95的置信区间。解：根据题中数据计算可得
11、。（1） 方差的无偏估计即为样本方差。（2） 的置信水平为0.95的置信区间为，所以的置信水平为0.95的置信区间为。18，为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A的9个学生，得分数的平均值为，方差为；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为，方差为。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差的置信水平为0.95的置信区间。解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差的置信水平为0.95的置信区间为19，设以X,Y分别表示有过滤嘴和无过滤嘴的香烟含煤焦油的量（以mg计），设，均未知。下面是两个样本X: 0.9, 1.1, 0.1, 0.7
12、, 0.3, 0.9, 0.8, 1.0, 0.4Y: 1.5, 0.9, 1.6, 0.5, 1.4, 1.9, 1.0, 1.2, 1.3, 1.6, 2.1两样本独立。求的置信水平为0.95的置信区间。解：根据题中数据计算可得，。（未完）根据两个正态总体方差比的区间估计的标准结论，的置信水平为0.95的置信区间为。20，设以X,Y分别表示健康人与怀疑有病的人的血液中铬的含量（以10亿份中的份数计），设，均未知。下面是分别来自X和Y的两个独立样本：X: 15, 23, 12, 18, 9, 28, 11, 10Y: 25, 20, 35, 15, 40, 16, 10, 22, 18, 32求的置信水平为0.95的单侧置信上限，以及的置信水平为0.95的单侧置信上限。解：根据题中数据计算得到，。的置信水平为0.95的单侧置信上限为。的置信水平为0.95的单侧置信上限为，所以，的置信水平为0.95的单侧置信上限为。21，在第17题中求鱼长度的均值的置信水平为0.95的单侧置信下限。解：根据单侧区间估计的结论，正态总体均值的置信水平为0.95的单侧置信下限为。22，在第18题中求的置信水平为0.90的单侧置信上限。解：两个正态总体的均值差的置信水平为0.90的单侧置信上限为。（第6章习题解答完毕）64
