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1、直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（，）的直线系方程：（A,B不同时为0）.例 1 求过点圆的切线的方程分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为（其中不全为零），则整理有，直线l与圆相切，圆心到直线l的距离等于半径1，故，整理，得，即（这时），或故所求直线l的方程为或点评：对求过定点（，）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: ，注意的此方程表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象练习：过点作圆的切线l，求切线
2、l的方程解：设所求直线l的方程为（其中不全为零），则整理有，直线l与圆相切，圆心到直线l的距离等于半径1，故，整理，得，即（这时），或故所求直线l的方程为或2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线：（不同时为0）与：（不同时为0）交点的直线系方程为：（，为参数）.例2 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：，当直线过原点时，则=0，则=1，此时所求直线方程为：；当所求直线不过原点时，令=0，解得=，令=0，解得=，由题意得，=，解得，此时，所求直线方程为：.综上所述，所求直线方程为：
3、或.3、求直线系方程过定点问题例3 证明：直线(是参数且R)过定点，并求出定点坐标.分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.解析：（恒等式法）直线方程化为:,R, ，解得，直线(是参数且R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取=0，=1得，联立解得，将（1,1）代入检验满足方程，直线(是参数且R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点
4、坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.一、常见的圆系方程有如下几种：1、以为圆心的同心圆系方程：与圆同心的圆系方程为：2、过直线与圆交点的圆系方程为：（）（）3、过两圆:0，:交点的圆系方程为：（）0（-，此圆系不含:）特别地，当时，上述方程为根轴方程两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例 求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。例、求经过两圆32和2交点和坐
5、标原点的圆的方程解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（32）（2）（0，0）在所求的圆上，有2从而故所求的圆的方程为： 即7。练习：求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.1解: 构造方程 x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0即 (1+)x2+(1+)y2+6x+6y-(4+28)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为当该圆心在直线x-y-4=0上时,即 所求圆方程为 x2+y2-x+7y-32=0 2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例2（1）：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。分析：本题若
6、先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解：圆和的公共弦方程为过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程例（2）; 求经过直线：24与圆：241的交点且面积最小的圆的方程解：设圆的方程为：241（24）即（14）则，当时，最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：261237练习：1求经过圆
7、x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零）2求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零）3求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上）4求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到x轴的距离等于半径）3、利用圆系方程求参数的值：例3：已知圆与直线相交于P，Q两点，O为坐标原点，若，求实数m的值。分析：此题最易想到设出，由得到，
8、利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即 .依题意，O在以PQ 为直径的圆上，则圆心显然在直线上，则，解之可得又满足方程，则，故。4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例4 圆系2（410）1020（，-）中，任意两个圆的位置关系如何？解：圆系方程可化为：1020（2410）与无关即易知圆心（，-）到直线25的距离恰等于圆的半径故直线25与圆相切，即上述方程组有且只有一个解，从而
9、圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。练习：一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程例1求过圆：+1=0与圆：+=0的交点，圆心在直线：的圆的方程.分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.解析：设所求圆的方程为：+1+)=0().整理得 =0，所以所求圆的圆心为，由已知知所求圆的圆心在直线：上，所以0，解得，=，代入圆系方程整理得，所以，所求圆的方程为.点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解
10、，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数不等于这一条件，同学们应很好掌握这一方法.二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程例2已知圆O：和圆外一点A（3，4），过点A作圆O的切线，切点分别为C、D，求过切点C、D的直线方程.分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO为直径的圆上，故直线CD是以线段AO为直径的圆与圆O的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.解析：由切线性质知，切点C、D在以线段AO为直径的圆上，由题知，O(1,)，|AO|=，线段AO的中点为（2，1），以线段AO为直径的圆的方程为，即，圆O
11、的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理得：+3=0，直线CD的方程为+3=0.点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数为何值时表示圆，参数为何值时表示直线.例如：求与圆x2+y24x2y20=0切于A(1,3)，且过B(2,0)的圆的方程。解：过A(1,3)的圆的切线为：3x+4y+15=0与已知圆构造圆系：x2+y24x2y20+l(3x+4y+15)=0曲线过B(2,0)l=所求的方程为：7x2+7y24x+18y20=0例2平面上有两个圆，它们的方程分别是x2+y2=16和x2+y26x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。分析：由x2+y26x+8y+24=0(x3)2+(y+4)2=1,显然这两圆的关系是外切。解： x2+y26x+8y+24=0(x3)2+(y+4)2=1这两圆是外切(x2+y26x+8y+24)(x2+y216)=03x4y20=0所求的两圆内公切线的方程为：3x4y20=0学生注意：对于不同心的两个圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0, C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，圆系方程C1+lC2=0补充：
