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1、现代控制理论复习题 1一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号 里打，反之打X。（，）1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。（X ） 2.若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一是能控的。（x ） 3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。（，）4.对系统x=Ax,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵 A的特征值都具有负实 部是一致的。s 3一、（15分）考虑由下式确定的系统：G（s）= 试求其状态空间实现s2 3s 2的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态
2、变量图。解：能控标准形为x1 I 01 I x1 I 01乂卜1-2 -3,71y=3叫能观测标准形为对角标准形为ow+bk 一 ：0-22. 11三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对 系统求其状态转移矩阵。解：解法1。容易得到系统状态矩阵 A的两个特征值是 儿1 = -1,九2 = -2 ,它们是不相同的，故系统的矩阵A可以对角化。矩阵A对应于特征值 儿1=1,九2 = -2的特征向量是取变换矩阵因此,t=l/21j1 -11则i-2D = TAT0101-2从而,eAt =Te，一0_2t e-1_t-2,IL01 1-12e ea e_l-2
3、e-L +2e/te4+2e/t解法2。拉普拉斯方法 由于d s(sI -A) = 21det(sI - A)adj(sI - A)1 s 3 s(s 3) 2 I1 - 2s 3(s+1)(s+2)-2：(s + 1)(s+2)11(s+1)(s+2)s(s+1)(s+2) 一一 2s十12,s 11s 2工s 211s + 1 s+ 2s+1 s+21解法3。凯莱-哈密尔顿方法将状态转移矩阵写成系统矩阵的特征值是-1和-2 ,故 e，=a0(t) -a1(t)2 e - e-e + 2eet = ao(t) - 2a1(t)解以上线性方程组，可得ao(t) =2e& 1t-2ta1(t)
4、= e - e-t-2te -e-t , n -2t-e + 2e_ 2 二 _2t因此,SeAI a1A 匚 2nt四、(15分)已知对象的状态空间模型x = Ax + Bu ,y = Cx，是完全能观的，请画出观测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。解 观测器设计的框图:观测器方程： = A Bu L(y Cx)= (A-LC) + Bu + Ly其中：是观测器的维状态，L是一个n4维的待定观测器增益矩阵。观测器设计方法：由于 det I -(A-LC) =det I -(A - LC)T =det，I - (AT -CTLT)因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L,使得
5、AT -CT LT具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法。五、(15分)对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。解连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：线性时不变系统x = Ax在平衡点Xe =。处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q,李雅普诺夫矩阵方程 A P + PA = -Q有惟在具体问题分析中，可以选取 Q = I。考虑二阶线性时不变系统：,X11 =，0%1原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程的对称正定解 P。1 Txi 1-J%ATP + PA = I其中的未知对称矩
6、阵P=J了12将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得；0 -11；即 P12 1+：Pl1J-1JI_P12P22 一，Pl2进一步可得联立方程组i 1 p22 _|P12 TO 1=j101p22 JL- 1 -11 -0 -11- 2 P12 = -1 pi1 - p12 - p22 - 0 2 pi2 - 2 p22 = -1口rp11p123/2 1/2从上式斛出p11、p12和p22 ,从而可得矩阵P = I=|12 p22 一 J/21 一35根据塞尔维斯特方法，可得=3 . 0:：2 udetP -5 . 024故矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳
7、定的。六、（10分）已知被控系统的传递函数是 一、(10分，每小题2分)试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号 里打M反之打工G(s) =10(s 1)(s 2)试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 土 j。解系统的状态空间模型是. ；011一。x =x + u?2 -3一11y - 10 0x将控制器 u=k0 kjx代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程01x = |x- 2 - k0- 3 - k1该闭环系统的特征方程是2det( ， I - Ac) = ,(3 k1).(2 k0)期望的闭环特征方程是(， _ 1-j)(，1 -1 j) =
8、-2 2 a, - 2通过2 (3 k1) (2 k0) Hi 2 . 2可得3 匕=22 k0 = 2从上式可解出k1 = -1k0 0因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是u = b 1 ；-x2 1现代控制理论复习题 2(X) 1.对一个系统，只能选取一组状态变量；(，)2.由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性；1(X) 3.若传递函数G(s)=C(sI _A) B存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的；(x)4.若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的;(，)5.状态反馈不改变系统的能控性。(20分)已
9、知系统的传递函数为G(s) =2s 5(s 3)(s 5)(1)采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图;(2)采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。答：(1)将G(s)写成以下形式：G(s)=2s 5s 5这相当于两个环节1 2s 5 , 、，和串连，它们的状态空间模型分别为:s 3 s 5x1 = -3x1 + u和J1 =x1x2 = -5x2 + u1y = -5x2 + u1由于y1 =5,故可得给定传递函数的状态空间实现是:工=+ u x2 = Aj - 5工将其写成矩阵向量的形式，可得:对应的状态变量图为:串连分解所得状态空间实现的状态
10、变量图(2)将G (s)写成以下形式：-0.52.5G(s) =7 +rs+3 $+5052 5它可以看成是两个环节 -05和 石的并联，每一个环节的状态空间模型分别为:s 3 s 5xj = -3x -0.5由此可得原传递函数的状态空间实现:土 = -3xl -0.5二-5a + 2.5”进一步写成状态向量的形式，可得:一对应的状态变量图为:并连分解所得状态空间实现的状态变量图三、（20分）试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的方法，并以一种方法和一个数值例子为例，求解线性定常系统的状态转移矩阵；答：求解状态转移矩阵的方法有：方法一直接计算法：根据状态转移矩阵的定义= eAt = I + At
11、-At2 H1- -2!u!来直接计算，只适合一些特殊矩阵Ao方法二通过线性变换计算状态转移矩阵，设法通过线性变换，将矩阵 A变换成对角矩阵或约当矩阵，进而利用方法得到要求的状态转移矩阵。方法三 拉普拉斯变换法：eAt = L（sI - A）力。方法四凯莱-哈密尔顿方法根据凯莱-哈密尔顿定理和，可导出人具有以下形式：出=%)1+% /+。式 f)/ + -+* a)/“】其中的豆0代），七，豆n（t）均是时间的标量函数。根据矩阵 A有n个不同特征值和有重特征值的情况，可以分别确定这些系数。 举例：利用拉普拉斯变换法计算由状态矩阵A-所确定的自治系统的状态转移矩阵。由于0J-1adj(sI-A)
12、s+15+1四、（10分）解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件，并举例说明之。答：状态能观性的含义：状态能观性反映了通过系统的输出对系统状态的识别能力，对一个零输入的系统，若它是能观的，则可以通过一段时间内的测量输出来估计之前某个时刻的系统状态。状态能观的判别方法：对于n阶系统A = J.Y + Bliy = Cx一 C【CA 1 .若其能观，f矩阵ro =列满秩，则系统完全能观：CAnl2 .若系统的能观格拉姆矩阵叫(0.T)二/1匕产小非奇异，则系统完全能观。举例：对于系统;卜仲F = 0 lr其能观性矩阵1- 0 12-的秩为2,即是列满秩的，故系统是能观的。五、(20分)对一个由
13、状态空间模型描述的系统，试回答：(1)能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？(2)简单叙述两种极点配置状态反馈控制器的设计方法；(3)试通过数值例子说明极点配置状态反馈控制器的设计。答：(1)能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件：系统是能控的。(2)极点配置状态反馈控制器的设计方法有直接法、变换法、爱克曼公式法。直接法验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。设状态反馈控制器u=-Kx,相应的闭环矩阵是 A-BK,闭环系统的特征多项式为detAT-(A-BK)r由期望极点 %，,及可得期望的闭环特征多项式通过让以上两个特征多项式相等， 可以列出一组以控制器参数为变量的线性方程组，由这组线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩阵K。变换法验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。将状态空间模型转化为能控标准型，相应的状态变换矩阵T = rcA.BacA)-设期望的特征多项式为而能控标准型的特征多项式为所以，状态反馈控制器增益矩阵是K =4 一。4 一珥%7(3)采用直接法来说明极点配置状态反馈控制器的设计 考虑以下系统设计一个状态反馈控制器，使闭环系统极点为2-和-3。该状态空间模型的能控性矩阵为0VCA.B =该能控性矩阵是行满秩的，所以系统能控。设状态反馈控制器/ = -Kx = -0 kx将其代入系统状态方程中，得到闭环系统状态方程
