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1、定理三矢量a、b、c共面的充分必要条件是它们的混合积a(bc)=0,也即a3b3C3证因为a(bc)=|a|bccos(a,bc)若a(bcp0，则只有a=0或bc二0或cos(a,bcp010若a=0,则a,b,c共面；2若bc=0，贝Ib,c共线，即a,b,c共面；3若cos(a,bcp0，贝，二一，即a垂直于2bc，也即a,b,c共面.反之亦然.图7-28如果a,b,c共面，将它们的起点移到一起，并以三矢量为棱作成一个平行六面体，如图7-28所示.若当a与bc的夹角为锐角，(Q-)2由a(bc)=abccos(a,bc)其中bc等于平行六面体的底面面积.acos(a,bc)=(a)c，即
2、a在bc上的投影,也即，acos(a,bc)等于这个平行六面体的高得a(bc)等于平行六面体的体积.若a与bc的夹角为钝角，(3-)cos(a,bc)Q则-a(bc)等于平行六面体的体积这样，我们得到以a、b、c为棱边的平行六面体的体积V=士a(bc)二|a(bc)这也是三矢量a、b、c的混合积的几何意义.例1已知a2ij3k,b3ijk,ci2j3kV四面体其中2-131-13-131-1=2-(T)+32-31-312-3求a(bc).解由三矢量混合积的坐标表达式a(bc)=(1)52(-8)35二例2试求以A(2,0,0),B(-1,2,3),C(4,1,0),D(5,0,1)为顶点的四
3、面体的体积.解如图7-29由几何知识可得11=V六面体=AB(AC过AD)66TTAB=3i2j3k,AC二2i-AB(ABAD)AD二3ik.323TTT3-4-9=-16AB（AC沢AD）=210301则所求四面体的体积V四面体二16=8图7-29下面讨论三矢量a、b、c所确定的混合积的性质.10顺次轮换混合积中三个矢量，所得混合积不变，即卩a(bc)二b(ca)二c(ab)设a二a1ia2ja3k，b二b1rb2jb3k，由三阶行列式的性质：交换行列式任意两行的元素行列式要改变符号.我们有aia2a3bib2b3bib2a(b汇c)=bib2b3=_aia2as=CiC2CiC2C3Ci
4、C2C3aia2同理可证b(ca)二c(ab)由上述行列式的性质还可得20任意对调混合积中两矢量的位置所得混合积的绝对值不变，但符号相反，即有a(bc)二a(cb)；a(bcpb(ac)；a(bcpc(ba).5.2三矢量的二重矢积定义由三矢量a、b、c的乘积a(bc)所确定的矢量称为三矢量的二重矢积.当a,c共线或a垂直b和c的时候，有a(bc)二0，由于a(bc)垂直于(bc)所以它是与b,c共面的矢量，(ab)c的意义可以类似地说明，但一般说来这两个矢积a(bc)与(ab)c并不相等.定理设a,b,c是三个任意矢量，则a(bcp(ac)b(ab)c证设a=a1ia2ja3k,b二b1ib
5、2jb3k,c=c1ic2ja(bc)二(de?-b2&)a2-血&-bi站3-b3C2)a3-(bq一b?Ci)aij(b3ebe呀3-b3C?)a?k二(aiCia3C3)b1/a?b2a3b3)Cii(a1C1a2C2a3C3)b2(a1b1a2b2a3b3)c2jgCia2e2a3C3)b3-(aiba2b2a3b3)C3】k(aa2C2a3C3)(dib?jtk)-(aib|a2ba3b3)(&iC2jC3k)=(ac)b(ab)c而(ab)c=c(ab)=(ca)b(cb)a第六节平面与直线方程在前面几节我们已经介绍了矢量及其运算，从本节开始介绍空间解析几何.本节我们以矢量代数为工
6、具，在空间直角坐标系中建立平面和直线方程，并讨论有关平面和直线的一些基本性质.6.1平面及平面方程(1) 平面可以看成满足一定条件的点的集合，在建立了空间直角坐标系后，平面作为点集，当其位置确定之后，平面可以用其上任一点坐标所满足的方程来表示，这个方程称为平面方程，就是指平面上任一点的坐标都满足该方程，不在该平面上的点的坐标都不满足该方程，这样的方程叫做该平面的方程下面我们介绍平面方程的几种形式平面的点法式方程平面在空间中的位置是由一定的几何条件所决定.例如，通过某定点的平面有无穷多个，如果限定平面与一已知非零矢量垂直，这个平面就可完全确定而这个与一平面垂直的非零矢量称为该平面的法矢量.下面我
7、们给出一平面过已知点与其法矢量的平面方程X图7-30已知平面过点P0(x0,y0,z0)，且垂直于矢量n=AiBjCk，如图7-30,试求该平面方程.在平面上任取一点P,设其坐标为P(x,y,z)，作矢量PoP二(X-Xo)i(yyo)j(z-z)kT因为n-P0P,由两矢量垂直的条件知nP0P二0即有A(x-Xo)B(y-y)C(zzo)=0由P的任意性可知平面上的任一点的坐标都满足上述方程.反之，不在该平面上的点的坐标都不满足该方程，因为这样的点与P所连成的矢量与法矢量不垂直.因此，上述方程就是所求平面方程因为该平面方程过已知点Po及已知法矢量n,所以，称其为平面方程的点法式然而一个平面方
8、程的法矢量不是唯一的，因为任何一个与该平面垂直的非零矢量都是该平面的法矢量.(2) 平面方程的一般式平面的点法式方程是关于x,y,z的一次方程，而任何平面都可以在其上任取一点p0(x0,y0,z0)，还可以任意取一垂直于该平面的矢量作为法矢量，这样，都可以用点法式方程来表示这个平面.所以，任何平面方程都是x,y,z的一次方程.反之，我们将平面点法式方程A(x-X。)B(yy)C(z-z)=0改写成AxByCzD=0其中A,B,C不全为零，D(AxoByoCzo)则任何一个关于x,y,z的一次方程AxByCzD=0一定表示一个平面这是因为设p0(x0,y0,z0)是适合上述方程的一组解，即AxB
9、y。CzqD=0而由AxByCzD=0，Ax0By0C%D=0两式相减，得A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0p0这就是过p0(x0,y0,z0)，法矢量n=ArBjCk的平面点法式方程这样我们得到定理任何平面都可用关于x,y,z的一次方程，AxByCzD=0(其中A,B,C不全为零)来表示，而任意一个一次方程AxByCzD=0表示一张以n二AiBjCk为法矢量的平面.方程AxByCz，D=0称为平面方程的一般式在上述方程中，如果系数A、B、C及常数D有部分为零时则方程有缺项，此时它所表示的平面在空间直角坐标系中具有特殊的位置10若D=0,则方程为AxByCz=0，该平面过原点；2若C=0
10、,则方程为AxByD=0，这时法矢量n=Ai+Bj.因为n，k=0，所以该法矢量垂直于Oz轴，从而平面平行于Oz轴，如图7-31.同样当B=0或A=0时，平面Ax*Cz*D二0平行于Oy轴，平面ByCzD=0平行Ox轴；3若B=0，C=0则方程变为AxD=0，这时该平面的法矢量n=Ai，与Ox轴平行，所以平面Ax*D二0与坐标平面Oyz平行，且在Ox轴上的截距为-D，如图7-32.同样A=0,C=0或B=0,C=0A时，情况类似，读者不难得到；图7-31图7-324特别，若A=0,B=0,D=0,则方程变为z=0,它表示和Oxy平面重合的平面.同样x=0,y=0分别表示Oyx,Ozx平面.请读
11、者注意：在平面解析几何中，一次方程表示一条直线；在空间解析几何中，一次方程表示一张平面，两者不要混淆，请分清所讨论的坐标系.例如x+y=1在平面解析几何中表示一条直线，而在空间解析几何中则表示一张平面平面方程的截距式对平面方程AxByCzD=0，当A、B、C、D都不等于零时，方程可化为旦丄二二1DDDABC令y=0,z=0得到平面与Ox轴的交点为(-D,0,0)，A同样可得到平面与Oy轴、Oz轴的交点分别为(0,-P,0)，(0,0,-D)，故数BC别称为平面在Ox轴、Oy轴、Oz轴上的截距，所以上式也称为平面的截距式方程若设a=_D、b=_D、c=_D，则方程可简为ABCxy1abc其中a、
12、b、c分别是Ox、Oy、Oz轴上的截距.因为不在同一直线上的三点可确定一个平面，所以利用平面截距式方程可方便地作出平面的图形.如图7-33.例1求过点M(2,4,-3)且与平面2x+3y-5z=5平行的平面方程解因为所求平面和已知平面平行，而已知平面的法矢量n=2i3j5k，设所求平面的法矢量为m，则有ni/n,故可设n疔n,则所求平面方程为：2(x-2)3(y-4)-5(z3)=0即2x3y-5z二31.例2求过三点Mi(1,1,2),M2(3,2,3),M3(2,0,3)的平面方程.解法1先求平面的法矢量n,因为M1M2取二2ijk,M2M3TMM2TMM3=2ij3k故所求平面方程为又平
13、面过点M1(1,1,2)2(xT)-(y-1)-3(z-2p0即2x-y-3z5二0解法2设M(x,y,z)为所求平面上的任一点，则由三矢量MM二(xT)i(yT)j(z2)k,TTM1M2ijk,M1MrjkxTy-1z21 共面的性质，有211=0-11可得2(x-1)-(y-1)-3(z-2)=0即2x-y-3z5二0解法3设所求平面方程为AxByCzD=0因为M“M2、M3三点在平面上，那么它们的坐标一定满足方程，将它们代入方程得方程组1A+B+2C十D=03A卜2B+3C+D=0解之得2A+0B+3C+D=0213A=-D，B=D，C=-D555代入方程ZByCzD=0并消去D得所求
14、平面方程为2x-y-3z5二0(4)两平面的夹角两平面法矢量的夹角或它们的补角称为该两平面的夹角，也称为二两角，如图7-34.设有两平面：平面1:A1xByGzD0,m=AiBijCik；平面2：A2xB2yC2zD2=0,n2二A2iB2jC2k.则该两平面的夹角的余弦为图7-34co厂cosg,n2)AiA2BB2CiC2A2Bi2CA；b|c22若两法矢量垂直n,n2，即有nn2二0由两矢量垂直的充要条件可得两平面垂直的充要条件是AA2b1b2c1c2=0若两法矢量平行厲IIn2，即有n1n2=0,由两矢量平行的充要条件可得两平面平行的充要条件是AiBiCiA2B2C2(5)点到平面的距离求空间一点Po(xo,yo,zg)到平面AxByCzD=0的距离.设p(x1,y1,z1)为平面AxByCzD二0上的任一点，则有AxByCzD二0,作矢量PoP二-xo)i(yyo)j(zzo)k则该矢量在该平面法矢量上的投影的绝对值就是点Po到平面的距离如图7-35.TTTd=PoPcos（PoP,n）二0PoPn由n=AiBjCk则A（XiX。）B（yi-y。）C（ziz。）、/A
