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1、最优控制习题及参考答案最优控制习题及参考答案习题1求通过x(0) =1 , x(1)=2，使下列性能指标为 极值的曲线：t f 2J = C (x2 +1)dtto解：由已知条件知：to =0 , t f = 1由欧拉方程得：(2x) = 0dtx = Cix = Cit + C2将 x(0) =1, x(1) = 2代入，有：C2 = 1, C1 = 1得极值轨线：x* (t) = t+11习题2求性能J = /(x2+1)dt指标：0在边界条件x(0) = 0 , x(1)是自由情况下的极 值曲线。解：由上题得：2x*x* (t) = C t + C#由 x(0) = 0 得：C2 = 0
2、?xf于是:2x(t f) = 2Ci t=tfx* (t) = 0X):IIII!t01【分析讨论】对于任意的x(0) = x。, x(1)自由。有 ： 2 C 0 = x1 , C = 0，即： x* (t) = x其几何意义：x(1)自由意味着终点在虚 线上任意点。状态方程为系统的Xi (t) = X2 (t), X2 (t) = u(t)X1 (3)边界条件为：X1 (0) = X2 (0) = 1 ,31=X2 =0 ,2u(t)dt 2取极小值的最优控制线 x* (t)u* (t)以及最优轨?( ?解：由已知条件知: 由状态方程：X2 = U = Gt - C2Hamit on 函
3、T?数：H = L + 4t f1 2.H = _u2 + 入x + 入u?入=0 由协态方程=? 4 = C 得:？ 4= -Gt + C?H赶控制一=u +4= 0方程:?u彳得：u = - 4 = Ct - C2 得:X (t) = 1 C t2 - C t + C 1232 2由状态方程： = X2得：x (t) = 1 C f - 1 C t2 + C t + C1 6 1 2 2 3 4将 x(0)二？ , x(3) = ? 0?代入，,10? ? ? 0联立解，C2 = 2 , C3 = 得：G = C4 乙 19由、式得：u* (t) = 10 t - 29X1(t)= 513
4、 - t 2 + t +1*272x (t) = _t - 2t +19习题4已知系统状态方程及初始条件为2x=u x(0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极 小值。1J = /(x2 + u2 )e2t dt解：H=x2eJ u2e2t? x = u 列方程:?入 -2xd? 2e2tu + 入=0由得，代入得，1 e-2tX-2t- 2te 入+ e2将，代入，并考虑到u= x x= _ 1 e 2(- 2xe2t ) + e- 2t (- 2e2t x)2整理可得：x+ 2x - x = 0#特征方程：S2 + 2s - 1 = 0S| = - 1+ . 2, q = - 1-2于
5、是得：X* (t) = G eS1t + C e5522e=t -2e2t x入*(t) =(Gse&t + G s e%t )-2e2t22由 x(0) = 1，得：G + C2 = 1由入(t f)=入(1)= 0 得：Gse51 + G S?es = 0、联立，可得G、C2求导代回原方程可得(斶习题5系统：洛=出发在=1时转移 到目标集X2 ,X2 = U由初始状态Xi (0) = X2 (0) = 0指徐2典=J 并使性能-(t)dt2丿为最小值的最优控制u* (t)及相应的最优轨线 X* (t)。解：本题f (i), L(i)与习题3同，故H相同 f方程同f通解同=C, 4 = -
6、Ct + C2=1 c t L 1 c t2 + C t+ C6 1 2 2 3 4? x = C f-C t + C123? 2 2u = C|t - C2x(0)= ? ?0?，有：C3 = C4 = 0 由 X1(1)+ X2 (1)= 1,有:丄c6c1 C + 1c - C = 11 2 2-23 C?书 T3由 a(1)=L + ?丫= 0 ,?x ?x?有：入=? ?Y=0?(1)=入(1)于是：?8 = - G + C22C-i = C2、联立，得寻: 于是：u-= -_t +6。产-、c?71 t3 + 3 t2147147习题6已知一阶系统:台匕x(t) = - x(t)
7、+ u(t) $定最优控制f * (t), x(2) = 0，并使性函,x(0) =3使系统在t2J =(1 + u2 )dt = min0(2)如果使系统转移到f x(t)=0的终端时间t自由，问u* (t)应如何确定?解:H = 1+ u2 + 入u - Xx? x = - x+ u列方程：？ X = X? 2u+ X= 0由协态方程得：X= C e方程制u=-2C1e代入状态方程：Q x? x(t) = C2et =-x -Ge2 t = 2, x(2) = 0f-C et9.-42-2 -ec c?C2；1#3e4C2 =4e - 1代入e4 - 1得：u* (t)=- x(t f )
8、 = 2， t f自由?C e-? 2?-1c e f = o4 1#? Hf =?:0解得：厂40 - 6= 0.325Ci =*t习题7设系统状态方程及初始条件为x(t) = u(t) ,x(0) = 1试确定最优控制u*1匕2(t),使性能指标J = t f + r u dt2 Jo为极小，其中终x(t f) = 0。端时间t f未定，解：H =1 u2 + 汕2由协态方程-x= Ci得：入=0由控制方-u = -Ci程：u +入=0由状态方程：X ? X(t) = -Gt + C2=u = - G由始端：-C2 = 1x(0) = 1由末端：一 -Gt f +仁0x(t f) = 0考
9、虑到：H希-有:_c 2C 2 = - 1? C 2 = 2C1当2时，代入C1 =有： t f = 1= 1=G=血当C= 2时，代入1，不合题意，故有C =2 1 有：t f=1Ci最优u*=习题8设控系统状态方程及初始条件为Xi (t) = X2 (t)， Xi (0) = 2X2 (t) =X2 (0) = 1u(t),J = L f u2dt2 o要求达到X(t f ) = 0 ,= 5时的最优控制u试求：(1) tf (t)；(2) t自由时的最优控制 u* (t)；解：本题 f (i ), L(i ), H (i )与前同，故有C-? ?x ? 1 ?x=1C t - 1 C t
10、2 + C t + C? 2 2? u = Ct -C2由x(0)=?得=?，?C4 = 2?C25 125GC2 + 5C3 + C4 = 0? 6 2? 25 - 5C + C = 0? C123? 2联立得：G = 0.432 C2=1.28，=0.432 - 1.28自由? C = 11 C t2 +,2? 4 ?cc=3 2 t ?6 1 ? 1 2C t t _ ? 1 -2 1f ?联立有2t 2 - 2C t2+ 2 =解。f无论为何值，t均无实习题9 给定二 阶系统(t) = x(t)+X (0) = - 14转移到x(t0X2 (t) = u(t)， X2 (0)=- 控制
11、约束使系统在薯求最优控并使自由其中t fu2 (t)dtH = u2+ 112,1242?本问题最因能1(t)=-入 1?-?2由协态方程=：:人=C1?久=1 T 入=1- C t+ C入2是t的直线函数 当 u* (t)=二 1入2x (t)=21x (t)=1o1 C t- 1 C时(试取)2 21 C t2 -4丄 c t3 -121 2 2J C t + C2 21C t24 21 1由始端条件-=+ Jt +4C41 C t由件端：Ct 3 -12 1 f1 Ct 2 -41 fH (tf )=C1 = , C2 = 0, t = 3 fb = 1 时，t 0另:4 2 ifc t
12、 2 20+ 1t联立解得:于是,2 =段， 故=-1 时，t = 9 1满足条件。1 , 1 A2入=莎习题10 设二 阶系统Xi (t) = - x/t) + u(t) , X! (0) = 1X2 (t) = Xi (t) , X2 (0) = 0控制约束为u(t) 1，当系统终端自由时， 求最优控制u* (t)，使性能指标J = 2xi(1)+ X2 (1)取极小值，并求最优轨线X* (t)解意由?-片 + u?H = Xu -入 + 入xX1 11 2 1X1由控制方程可? + 1得：uX 0? X= X -X1 1 2由协态方程? X = 0? X = C1? ? 2?)= =? ? ? C = 1 一 $ C= ef -,? 1? x
