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1、FS FT DFS DTFT DFT 的联系和区别对于初学数字信号（DSP的人来说，这几种变换是最为头疼的，它们是 数字信号处理的理论基础，贯穿整个信号的处理。学习过高等数学和信号与系统这两门课的朋友，都知道时域上任 意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和， 在频域上就表示为离散非 周期的信号， 即时域连续周期对应频域离散非周期的特点， 这就是傅立叶级数展 开（FS）,它用于分析连续周期信号。FT 是傅立叶变换，它主要用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期 的，它必包含了各种频率的信号， 所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期 的特点。FS 和 FT 都是用于连续信号频谱的分析工具
2、，它们都以傅立叶级数理论 问基础推导出的。 时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点， 但对于周期信 号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。在自然界中除了存在温度， 压力等在时间上连续的信号， 还存在一些离散 信号，离散信号可经过连续信号采样获得，也有本身就是离散的。例如，某地区 的年降水量 或平均增长率等信号，这类信号的时间变量为年，不在整数时间点 的信号是没有意义的。用于离散信号频谱分析的工具包括DFS DTFT和DFTDTFT 是离散时间傅立叶变换 ，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅 立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件， 那么对于离散时间 傅立叶变换，用于它之上的
3、离散序列也必 须满足在时间轴上级数求和收敛的条 件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离 散非周期对应频域连续周期的特 点。当离散的信号为周期序列时，严格的讲，傅立叶变换是不存在的，因为它 不满足信号序列绝对级数和收敛 （绝对可和） 这一傅立叶变换的充要条件， 但是 采用DFS（离散傅立叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅立叶分析。我们知道周期离散信号是由无穷多相同的周期序列在时间轴上组成的，假 设周期为N,即每个周期序列都有N个元素，而这样的周期序列有无穷多个，由 于无穷多个 周期序列都相同，所以可以只取其中一个周期就
4、足以表示整个序列 了，这个被抽出来表示整个序列特性的周期称为主值周期， 这个序列称为主值序 列。然后以 N 对应 的频率作为基频构成傅立叶级数展开所需要的复指数序列 ek（n）=exp（j*2pi*k*n/N）, 用主值序列与复指数序列取相关（乘加运算），得出 每 个主值在各频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。根据DTFT对于有限长序列作Z变换或序列傅立叶变换都是可行的，或 者说，有限长序列的频域和复频域分析在理论上都已经解决；但对于数字系统， 无论是 Z 变换还是序列傅立叶变换的适用方面都存在一些问题，重要是因为频 率变量的连续性性质（DTFT变换出连续频谱），不便于数字运算
5、和储存。参考DFS可以采用类似DFS的分析方法对解决以上问题。可以把有限长 非周期序列假设为一无限长周期序列的一个主直周期， 即对有限长非周期序列进 行周期延拓，延拓后的序列完全可以采用 DFS进行处理，即采用复指数基频序 列和此有限长时间序列取相关， 得出每个主值在各频率上的频谱分量以表示出这 个“主值周 期”的频谱信息。由于DFT借用了 DFS这样就假设了序列的周期无限性，但在处理时又对 区间作出限定（主值区间），以符合有限长的特点，这就使DFT带有了周期性。另夕卜，DFT只是对一周期内的有限个离散频率的表示，所以它在频率上是离散 的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样，此时采样频
6、率等于序列延拓 后的 周期N,即主值序列的个数。下面这篇写的更好1. 这些变换的实质都一样，都是将一个复杂信号在一正交系中进行分解，不同在 于选择的基不同 . 付氏变换选择的是复指数与三角基，小波变换选择了其它的基.2 .信号在时域与频域具有对偶性 一个域的周期性与连续性对应于另一个域的 与非周期， 比如对于周期性信号连续信号， 具绝对可积条件时， 在可以进行级数 展 开，得到了离散的非周期频谱.3.DFT，DTFT，DFS，FFT的联系与区别DFT与FFT是一个本质，FFT是DFT的一种算法.DFS是discrete fourier seriers,对离散周期信号进行级数展开.DFT是将DF
7、S取主值,DFS是DFT的周期延拓.DTFT是对 Discrete time fourier transformation,是对序列的 FT,得到连续的周期谱,而DFT,FFT得到是有限长的非周期离散谱，不是一个.【wangyichen19】1. 对于傅里叶级数， 无论是连续信号或是离散信号， 均是使用一组正交函数 （正 交集），对其进行加权求和，来逼近原始周期信号，通常来说，连续时间傅里叶级 数的正交集中有无穷多个函数，而由于离散时间正交函数都是周期的，若周 期为N,则离散时间傅里叶级数的正交集中只有 N个函数。 在加权求和过程中所使用的加权系数就构成了周期信号的系数谱， 对于连续周期 信号
8、，其系数谱是非周期的；而对于离散周期信号，其系数谱则是以N为周期的。2. 傅里叶变换体现了信号的时域与频域之间的一种变换关系， 我们可以由傅里叶级数的表达式不是十分严格的推导出来，连续时间信号的频谱是非周期的，而离散时间信号的频谱则是以 2*pi 为周期延拓的。并且，我们可以看到，傅里叶 级数的系数是对应主值区间的非周期信号频谱的采样值； 换句话说， 一个非周期 其信号的频谱是这个信号周期延拓所得信号傅里叶级数系数的包络， 两者在采样 点上的值是相等的。值得注意的是，一个周期信号的傅里叶变换是在其基波频率整数倍上的一串冲 击，加权系数恰好是信号傅里叶级数的系数。3. DTFT与DFT的关系我们
9、知道，一个N点离散时间序列的傅里叶变换（DTFT所的频谱是以（2*pi ） 为周期进行延拓的连续函数，由采样定理我们知道，时域进行采样，则频域 周 期延拓；同理，如果在频域进行采样， 则时域也会周期延拓。 离散傅里叶变换（ DFT） 就是基于这个理论， 在频域进行采样， 一个周期内采 N 个点（与序列点数 相同） ， 从而将信号的频谱离散化，得到一的重要的对应关系：一个N点的离散时间信号 可以用频域内一个N点序列来唯一确定，这就是 DFT表达式所揭示的内容。【liusoldier 】 付立叶变换是从付立叶级数推演而来的， 付立叶级数是所有周期函数 （信号）都 可以分解成一系列的正交的三角函数，
10、 这样，周期函数对应的付立叶级数即是它 的频 谱函数，也就是分离的谱线。而为了分析非周期函数，引入了谱密度的概 念，即非周期信号的谱函数无穷小，但是谱密度有值。这样，将非周期信号看成 是周期无限 长的周期信号，并引入 F（t）/T ，即为非周期函数的谱密度函数。为 了概念上的统一， 引入了冲激函数的概念， 这样，周期信号也可以有付立叶变换， 其谱密度 函数为冲激。付立叶变换对于连续时间信号的分析具有重要作用，用于分析信号的频率分量， 或将信号在频域上进行处理。引用频域概念后，通信与数学的结合就更加紧密 了。通信的发展其实就是数学的发展。至于离散付立叶变换， 其实也是对数字信号变换到频域进行分析
11、处理， 它对数字 信号处理的作用相当大。数字信号处理脱离了模拟时期对信号进行处理完全依 赖于器件的境况， 可以直接通过计算来进行信号处理。 如数字滤波器， 只是用系 统的系数对进入的数字信号进行一定的计算， 信号出系统后即得到处理后的数据 在时 域上的表达。离散付立叶变换在理解上与连续信号的付立叶变换不太相同， 主要是离散信号的 付立叶变换汲及到周期延拓，以及圆周卷积等。快速离散付叶变换其实是一种对付立叶变换的算法， 它的出现解决了离散付立叶变换的计算 量极大、不实用的问题，使付立叶变换的计算量降低了一个或几个 数量级，从而使离散付 立叶变换得到了广泛应用。 另外， FFT 的出现也解决了相当多的计算问题， 使得其它计算也 可以通过 FFT 来解决。
