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1、课时达标第16讲解密考纲本考点主要以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，常考查恒成立问题、存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题，综合性较强，常作为压轴题出现三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大1已知函数f(x)x2axaln x(aR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)4x.解析(1)f(x)2xa，由题意可得f(1)0，解得a1经检验，a1时f(x)在x1处取得极小值，所以a1(2)由(1)知，f(x)x2xln x，令g(x)f(x)3xln x，由g(x)x23x33(x1)(x0)，可知g(x)在
2、(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，g(x)ming(1)30，当x0时，g(x)g(1)0，于是f(x)4x.2若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)k有3个不同的根，求实数k的取值范围解析(1)f(x)3ax2b，由题意得解得故所求函数的解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)得f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)
3、有极小值，所以函数f(x)x34x4的图象大致如图所示因为f(x)k有3个不同的根，所以直线yk与函数f(x)的图象有3个交点，所以k.3(2018河南新乡调研)已知函数f(x)x(a1)ln x(aR)，g(x)x2exxex.(1)当x1，e时，求f(x)的最小值；(2)当a1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22,0，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范围解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x).当a1时，x1，e，f(x)0，f(x)为增函数，则f(x)minf(1)1a.当1ae时，x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数，则f
4、(x)minf(a)a(a1)ln a1当ae时，x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数，则f(x)minf(e)e(a1).综上，当a1时，f(x)min1a；当1ae时，f(x)mina(a1)ln a1；当ae时，f(x)mine(a1).(2)由题意知，f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值由(1)知f(x)在e，e2上单调递增，f(x)minf(e)e(a1)，g(x)(1ex)x.x2,0时，g(x)0，则g(x)为减函数所以g(x)ming(0)1所以e(a1).所以a的取值范围为.4某商店经销一种奥运纪念品，每件产品成本为30元，且每卖出一件
5、产品，需向税务部门上交a元(a为常数，2a5)的税收，设每件产品的日售价为x元(35x41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比，已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件(1)求商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时该商店的日利润L(x)最大，说明理由解析(1)设日销售量为件，则10，k10e40.则日销售量为件，每件利润为(x30a)元，则日利润L(x)10e40(35x41)(2)L(x)10e40(35x41)当2a4时，3331a35，L(x)0，L(x)在35,41上是减函数当x35时，L(x)的最大
6、值为10(5a)e5.当4a5时，3531a36，由L(x)0得xa31，当x(35，a31)时，L(x)0，L(x)在(35，a31)上是增函数当x(a31,41时，L(x)0，L(x)在(a31,41上是减函数当xa31时，L(x)的最大值为10e9a.综上可知，当2a4时，日售价为35元可使日利润L(x)最大，当4a5时，日售价为a31元可使日利润L(x)最大5(2018辽宁五校联考)已知函数f(x)(ax1)ln x.(1)若a2，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线l的方程；(2)设函数g(x)f(x)有两个极值点，x1，x2，其中x1(0，e，求g(x1)g(x2)的最小值解
7、析(1)当a2时，f(x)2ln xx2，f(1)2，f(1)，切线l的方程为y2(x1)，即4x2y30.(2)函数g(x)aln xxa，定义域为(0，)，g(x)1，令g(x)0，得x2ax10，x1x2a，x1x21，故x2，a.g(x1)g(x2)g(x1)galn x1x1a22aln x122ln x1，令h(x)22ln x，x(0，e则g(x1)g(x2)minh(x)min，h(x)，当x(0,1时，h(x)0，当x(1，e时，h(x)时，设g(x)(x22x)ex，求证：对任意x1(0,2，均存在x2(0,2，使得f(x1)g(x2)成立解析(1)由题知，定义域为x0，f
8、(x)ax(2a1) .当a时，f(x)x，令f(x)0，解得0x或x2，令f(x)0，解得x2，则函数f(x)的单调递增区间为和(2，)，单调递减区间为.(2)若要命题成立，只需当x(0,2时，f(x)max g(x)max由g(x)(x22)ex可知，当x(0,2时，函数g(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，2)上单调递增，g(0)g(2)0，故g(x)max0，所以只需f(x)max0.对函数f(x)来说，f(x)ax(2a1).当a时，02，则函数f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以f(x)maxf2ln a2；当a1时，显然小于0，满足题意；当a1时，可令h(a)2ln a2，h(a) ，可知函数h(a)在区间时单调递减，则h(a)h2ln 230，满足题意；综上所述，当a时，对任意x1(0,2，均存在x2(0,2，使得f(x1)g(x2)成立1
