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1、目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、眩、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线,能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幕定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性：圆既是轴对称图形乂是中心对称图形。经过圆心的每一条宜线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半
2、圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：眩与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到#直角三角形。如下图:#考点4：三角形的外接圆:#锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在钝角三角形的外心在考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外Odr；点在圆上Od=r；点在圆内Od0的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且=.求证:AB二CD.
3、问题一图2例2已知，不过圆心的直线/交（DO于C、D两点，AB是的直径，AE丄Z于E,BF丄/于Fo求证:CE=DF.【考点速练】1.已知的半径为2cm,弦AB长2岳加，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）.A.lcmB.2cmC.忑cmD.3. 如哥1,00的半径为6cm,AB、CD为两弦，且ABCD,垂足为点E,若CE=3cm,DE=7cm,则AB的长为（）A.10cmB.8cmC.4迈cmD.8近cm4. 有下列判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条其中正确的判断有（）A.0个B.1个C.2个D.3个5. 如图2,同心圆中,大圆的
4、弦交AB于C、D若AB二4,CD二2,圆心0到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为（）A-3:2BJJ:2C炳忑D.5:46如图，OO的直径为10,弦AB二&P是弦AB上的一个动点，那么0P长的取值范围是7如图，己知有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm,拱高CD二4cm,那么拱形的半径是m.#周角与心角8如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水而的宽度月*为SOOmm,求水的最大深度CD.#【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg:判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆
5、周角。两个条件缺一不可.Eg:判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由ABCDE考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.Eg:如下三图，请证明。#考点34. 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 半関（或T.径）所对的鬪周角是血角，90的闘川忧所对的弦是M径. 如果三角形一边上的中线等J：这边的一半，那么这个三角形是氏角三角形.经典例题例1：下图中是圆周角的有.是圆心角的有例2：如图，ZA是30的圆周角，且ZA=35、则ZOBC=例3：如图，圆心角ZAOB=100,则ZACB=例4：如图1,是。O的直径，点GDE都在0O,若
6、Z(ZD=E,则Z的B=例如图2,OO的直径CD过弦EF的中点G,ZEOD=40,ijZDCF=#例7：己知G0中，ZC=30,AB=2cm,则G0的半径为cm#心角、弧、弦.弦心距关系定理【考点速览】圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等#推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.nZAOB=ZArOB如由条件:AB二AB口捲出,金(4)OD=O;D（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1.如图所示，点O是ZEPF的平分线上一点，以O为圆心的
7、圆和角的两边分别交于A、B和C、D,求证：AB=CD.例2、已知：如图，EF为的直径，过EF上一点P作弦AB、CD,且ZAPF二ZCPF。F求证：PA=PCo例3.如图所示，在ABC中，ZA=72,00截AABC的三条边长所得的三条眩等长，例5.如图所示，已知在30中，弦AB=CB,ZABC=120%求证：AODE是等边三角形五.!1!求ZB0C.【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例1(1)已知圆内接四边形ABCD中,ZA：ZB:ZC=2：3:4,求ZD的度数.(2)已知圆内接
8、四边形ABCD中，如图所示，金、宏、&矽的度数之比为1：2:3:4,求ZA、ZB、ZC、ZD的度数.例3如图所示，AABC是等边三角形，D是喩上任一点.求证：DB+DC二DA.六.会用切线，能证切线考点速览：考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系O0dr相离a1d=r相切2dr相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言IOA丄1于A,OA为半径/.1为30的切线考点3判断直线是圆的切线的方法： 与圆只有一个交点的宜线是圆的切线。 圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证
9、明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。B推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：例1.如图，ZABC内接于OO,AB是OO的直径，ZCAD=ZABC,判断直线AD与OO的位置关系，并说明理由。#例2如图,OA=OB=13cm,AB=24cm,(DO的半径为5cm,AB与30相切吗？为什么？#BBAB例3如图,PA、PB是90的切线，切点为A、B,C是0O一点，若ZP=40,求ZC的度数。例4如图所示，RtA
10、ABC中，ZC=90,以AC为直径作30交AB于D,E为BC中点。求证：DE是00的切线中考链接1. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O,圆相交于点A,与大圆相交于点B,小圆的切线AC与大E点D,且CO平分ZACB.试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。2如图，在RtAABC中，ZC=90o，点O在AB,以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且ZCBD=ZA,判断BD与0O的位置关系，并证明你的结论。七.切线长定理考点速览：考点1切线长概念：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.切线长和切线的区别APDB切线是直线，
11、不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量.考点2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切00于A、B两点，PA二PBP0平分ZAPB.考点3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.经典例题：例1已知PA、PB、DE分别切00于A、B、C三点，若P0=13cm,APED的周长为24cm,求：CO的半径；若AAPB=40,ZEOD的度数.B#例2如图，O0分別切ABC的三边AB、BC、CA于点D、E、F,若BC=a.AC=b.AB=c.#例3.如图，一圆内切四边形ABCD,且AB=16,#AEn考点速练1：1. 如图，00是AABC的内切圆，D、E、F为切点,=4:3:2,ijZDEF=.ZFEC=.2. 直角三角形的两条直角边为5cm、12cm,则此直角三角形的外接圆半径为cm,内切圆半径为cm.3. 如图，直线AB、BC、CD分别与GO相切于点E、F、G,且AB/CD,若0B=6cm,0C=8cm,贝ljZBOC=,00的半径二cm,BE+CG二cm.#八三角形内切圆#考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内
