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1、 圆锥曲线058、如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点，的周长为8，且面积最大时，为正三角形（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点试探究： 以为直径的圆与轴的位置关系？ 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由yxABOF1F2【答案】解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以 ，椭圆E的方程为 （2）由，得方程由直线与椭圆相切得 求得，中点到轴距离 。所以圆与轴相交。 （2）假设平面内存在定点满足条件，由对称性知点在轴上，设点坐标为， 。由得所以，即所以定点为。 9、已知椭圆的一个焦点为
2、，点在椭圆上，点满足（其中为坐标原点）, 过点作一斜率为的直线交椭圆于、两点(其中点在轴上方，点在轴下方) .(1)求椭圆的方程；(2)若，求的面积；(3)设点为点关于轴的对称点，判断与的位置关系，并说明理由.【答案】(1)由，得 .2分 a2=2,b2=1, 所以，椭圆方程为. .4分 (2)设PQ:y=x-1，由得3y2+2y-1=0, .6分 解得： P(),Q(0,-1)，由条件可知点, =|FT|y1-y2|=. . 10分 (3) 判断：与共线. . 11分 设则(x1,-y1)，=(x2-x1,y2+y1)，=(x2-2,y2), .12分 由得. .13分(x2-x1)y2-(
3、x2-2)(y1+y2)=(x2-x1)k(x2-1)-(x2-2)(kx1-k+kx2-k)=3k(x1+x2)-2kx1x2-4k=3k-2k-4k=k()=0. .15分 所以，与共线. .16分10、（第20题图）已知动点到点和直线的距离相等.1.求动点的轨迹方程；2.记点，若，求的面积.【答案】（1）由题意可知，动点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为设方程为，其中，即2分所以动点的轨迹方程为2分（2）过作，垂足为,根据抛物线定义，可得2分 由于，所以是等腰直角三角形2分 其中2分所以2分11、已知椭圆的两个焦点分别是、，且焦距是椭圆上一点到两焦点距离的等差中项. （1）求椭圆的方程；（2）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.【答案】解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . 1分由题意得 ， . 4分故椭圆的方程为 . 6分（2）解：当轴时，显然. 7分当与轴不垂直时，可设直线的方程为.由 消去整理得 . 9分设，线段的中点为，则 . 10分所以 ，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得. 12分当时，；当时，.所以，或. 13分综上，的取值范围是. 14分
