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1、排列组合基础知识、两大原理1. 加法原理n1中不同的方法，第二类方法 那么完成这件（1）定义：做一件事，完成它有 n类方法，在第一类方法中有 中有n2种不同的方法 第n类方法中nn种不同的方法， 事共有N烽n2心n n种不同的方法。（2 ）本质：每一类方法均能独立完成该任务。（3 ）特点： 分成几类，就有几项相加。例1.从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有 班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法?3班，汽车有 2如上图，从甲地到乙地共有3+2种方法。2. 乘法原理m1中不同的方法，做第二个步骤 那么完成这件（1） 定义做一件事，完成它需要n个步骤，做第一个步
2、骤有 有m2种不同的方法 做第n个步骤有mn种不同的方法， 事共有N = mm .m n种不同的方法。（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节（3） 特点： 分成几步，就有几项相乘。例2.从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车2班，汽车3班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法?解：由上图可知共有的可能路线为：火车1汽车1,火车2汽车1火车1 汽车2,火车2汽车2火车1 汽车3,火车2汽车3所以共有24 口 8种方式。二、排列组合1. 排列（1） 排列的定义：从 n个不同的元素中，任取 m个（m n ）元素， 按照一定的顺序
3、排成一 列，叫做从n个不同的元素中取出 m个元素的一个排列。（2）使用排列的三条件 n个不同元素； 任取m个；讲 究顺序。2. 组合（1 ）组合的定义：从 n个不同的元素中，任取m个（m n ）元素并为一组 ，叫做从n个不同的元素中取出 m个元素的一个组合。（2 ）使用三条件 n个不同元素； 任取m个； 并为一组，不讲顺序。排列与组合的共同点 ：都是“从n个不同元素中任取 m个元素”； 排列与组合的不同点 ：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。 也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果。3排列数的定义 ：从n个不同的元素中，任取m个（m n）元素所有排列的个数，叫做从
4、n个不同的元素中取出m个元素的排列数，记为Anm。例1.从甲、乙、丙三个中任取 2个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式?解：由上图可知，共有6种方式。需要注意：此题相当于从3个不同的元素中任取 2个元素，并按一定的顺序排列，所有共有的排列数为A 32，即A326 3 2 ，其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项 3，而且之后的每项总是比前一项少1。例2.从a, b, c, d四个元素中任取 2个排成一列共有多少种可能？解 所以的可能排列为：ab, ba, ac, ca, ad, da,bc, cb, bd, db, cd,dc.共有 12 种，即A212 4 3 ，其中
5、上标 2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1 。例 3.从 a, b, c, d四个元素中任取 3个排成一列共有多少种可能?解所以的可能排列为:abc, acb,bac,bca,cab, cba, abd, adb, bad, bda, dab,dba, acd, adc, cad, cda, dac,dca. bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有24种，即A4324 4 3 2 ，其中上标3是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式2).(Anmn( n 1)(nn m 1
6、)n!，其中上标 m表示相乘的项数，n 一 m)!其中豆n(n d)弊呼艇2 1。尤其： 01,1, n !。AnAnn A n n5组合数的定义：从n个不同的元素中，任取 m个(m n )元素 所有组合的个数，叫做从 n 个不同的元素中取出 m个元素的组合数，记为 Cnm。例4.从甲、乙、丙三个中任取2个人参加某项比赛。问共有多少种方式？解：可能的组合为：甲乙，甲丙，乙丙。所以共有3种需要注意：此题相当于从 3个不同的元素中任取2个元素并成一组，所有共有的组合数为C32，即Cs23。这个结果与例1比较发现232 A32C 332 1 A。例2.从a, b, c, d四个元素中任取2个并成一组
7、，共有多少种可能？解 所以的可能排列为：ab, ac, ad, be, bd, cd.共有6种，即C426。这个结果与例2比较发现IfC4264 3 A2。2 1 A2例6.从a, b, c, d四个元素中任取3个并成一组，共有多少种可能？解 所以的可能排列为：abc, abd, acd, bcd 。共有4种，即C434。这个结果与例3比较发现3申戸=4 32AC 4。3 21A3由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式m =- n(n 1).(n m )G/V 兰 m(m 1).2 =1=尤其：Cn01,Cn1n, Cnn1, G()我们这本书用 m 表示Cn”。下面3题要求学解题过程1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的上方；(2 )列出所有冠军的可能情况。2. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226B.246C.264D.2883. 旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有()种。A.60B.100C.120D140
