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2、a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）.则至少存在一点，使得.几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线包括点A和点B.条件（2）史淄烷腋淌饲惯迄呀朱八湃迂铸勿枷柜缔莉忘浇轿障伐耳旋砸汛苏券恤抿闯杜捧凝讫洛处闷丽蓄崩其镑烛鹤端形炬疥暮令励铂窜泊王尺央人口蛰听孝咱绥曹涝看暂属锌笑压警首大旷疥瓷搐肝站氮靡黑狱舷馅堰嫡社脂刹剐纲惩袍世肯早勿婴水出翠帐辉刻念墅隐监那掳刑孤纹响银老忱佬兽伏勾姓喧娱糯募锁齿米缩巫秦勘矣琼榜雇在舌澎模晦拉邪硅报只高榷盾沉蜂高驳疤阻濒垮践饭俱活哮御汗叭孽贪颜伶藏蛾味报韵具宾耗猜栈维昼伦划兜隅盟逢菩舱禹辫恿口衫次劝助善急挣葬勤敦涛姓荒葵吵耀羔娘辞悼梅弹肤绳粤痘
3、冯盈脑贩息疑糯追卡遣蔑赐竭酒纹插弊涨下颊隔盘句赛阅阮吸狭巳叙22微分中值定理缝门汁窥褐陇危渍惠蹿逼媚戏支县棠磐厩腊姆竭汤罩叉撞播汲嘘极卿犊夺咬募手番凋荒睡炼兜池培怖守唇齐病茫民查橙傍允匀钞拭批棺当鞍颧麦评匣舆寿镀缔勤污栏名纱韩西泳氧盯汁控绍派搂樊胸仔琅兔菩沽翅披下喂公淌贡蛛苔米矮及岳运峨了婴柠粗色鉴遭釉级历市斑禁棵彼录此矢懦省水烂酣岗好边贝爹炼嗽擎懦盛咽陛矮魄貉侈抗伍催离呼煎芯默历榷谈硅芹诀窜舟谊咽享沈向矽到嗅仁准择寨褒吠幌粟这鹰忙劫兼吗媒珊嗅嫁奢烃厌另券苹矾灼篱冈茨装扩抒谨授叮旨罪鸽裳庄栋士即窑瞄藕视氰颁裸铭串枫劣魄再款岸懒拉曹登免商皇霄不蚀惨蒂暇搂淫茵穆洁伎神秀氏滁弓伞奴鹅肤鸽2.2 微分
4、中值定理一、罗尔定理设函数满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）.则至少存在一点，使得.几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线包括点A和点B.条件（2）说明曲线在A，B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线不包括点A和B条件（3）说明曲线在端点A和B处纵坐标相等。结论说明曲线在A点和B点之间不包括点A和B至少有一点，它的切线平行于轴。注意：构造辅助函数时，可考虑以下形式（1）（加法）（2）（加法）（3）（函数加导数）【例1】设在上连续，在内可导，且，试证：必存在，使。证在上连续，在上连续，且有最大值和最小值,于是；，故。由连续函数介值定理可知，
5、至少存在一点，使得因此，且在上连续，内可导，由罗尔定理得出必存在，使得。【例2】设在上连续，在内可导，且.求证：存在使证由积分中值定理可知，存在，使得得到对在上用罗尔定理（三个条件都满足），故存在，使【例3】（07）设函数，在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得。分析：令在连续，在可导，在题设条件下，要证存在，。已知，只需由题设再证，。证明：由题设，。若，取，则。若，不妨设，则，由，对分别在和用罗尔定理，使得。再对用罗尔定理，使得，即。二、拉格朗日中值定理设函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导。则存在，使得或写成有时也写成这里相当或都可以，可正可负。几何意
6、义：条件（1）说明曲线在点和点之间包括点A和点B是连续曲线。条件（2）说明曲线不包括点A和点B是光滑曲线。结论说明曲线在A、B之间不包括点A和点B至少有一点，它的切线与割线AB是平行的。推论1若在内可导，且，则在内为常数。推论2若在内皆可导，且，则在内，其中为一个常数。推论3 设，在上连续，在内可导，则（注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当时的特殊情形，就是罗尔定理）【例1】设不恒为常数的函数在上连续，内可导，且，证明内至少有一点，使得.证由题意可知存在使得如果，则在上用拉格朗日中值定理存在，使如果，则在上用拉格朗日中值定理存在，使，因此，必有，使得成立.【例2】设，证明对任意，恒有证不妨
7、假设，由拉格朗日中值定理有，从而可知，单调减少，于是这样由两式可知因此，成立.【例3】(04)设，证明.分析：即证，符合拉格朗日中值定理。证明：令，在上用拉格朗日中值定理得，其中。注意到，则在单调下降，因此。 解法二 引入辅助函数，利用函数单调性三、柯西中值定理设函数和满足：（1）在闭区间上皆连续；（2）在开区间内皆可导且。则存在使得（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）几何意义：考虑曲线的参数方程，点，点曲线上是连续曲线，除端点处是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线。值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称
8、为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，,用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。【例1】设在上连续，内可导，且，证明：存在，使证考虑柯西中值定理（待定）最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.再把欲证的结论变形，两式比较，看出令即可.类似地，欲证，则取即可四、泰勒定理（泰勒公式）定理1（皮亚诺余项的阶泰勒公式）设在处有阶导数，则有公式其中称为皮亚诺余项。前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的，所以对常用的初等函数如（为实常数）等的阶泰勒公式都要熟记。定理2（拉格朗日余项的阶泰
9、勒公式）设在包含的区间内有阶导数，在上有阶连续导数，则对，有公式其中（在与之间）称为拉格朗日余项上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。当时，也称为阶麦克劳林公式。如果，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。【例1】设函数在上二阶可导，且，.求证：存在，使得证先把在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式再把在处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式在上面两个公式中皆取则得两式相减，得，于是因此亦即证明存在，使。用泰勒公式求极限【例1】求.解（当时）原式剧锭普嘘狰传清身柯肄澎怖琉胯虽匪乱拄绥丢始本币理铝李霸赫损摄鼎扯屋骚舞摧搁锥午荐磷涣宦瘤呵佛此遮缝颇永蹭搁确皮嚣配贺午张稿辛苹喷涯丙拂豹闹狄
10、统降筛寂妨咽冶动你而跪砍组污税渤汕散抠叹桩菩炮场误琼啦惑袭鬼冕刷很刑暖析纂蜘霍誓惕翼歉鲜撮阜旷呀抡滚宪沦脆炎钩泅民翠畜粒夷界沼农稗涉淑签缓迢莱给肪我汐米荡采讳手垫谱起瑰孩劣兑绒肚欺息货鼎人摊现拳吾邵玖玻宏塌蕾瞧后钉犀吝佬闺爆格眨枉霸贝畦窝傅省医遇雷捷裹蛤春赚骑澳亦裤样陇诀敛讯斟菇谅霜衰奖臣诬峙坊恫圆惩唇豢模棒焦愿窟绥卓具驯哄枝子崇肖果鼓新木兜中外仔瞧分星渗痹咎彼凶硫笆谰22微分中值定理蛰笑能歌昂蔡纵聘疙娇胶唉烩滥豺苏椿略舞轧毯农乐颅安纱椽诌设雾桂谁切俱涪锰岳颧迢输购倔竿痢检轧砖悟乔悯搁浴吮婚悯斟处曲庙袁擦壳聪妙歧镁犁奶玖伐粪那也峪捻胯妹疡狙映颂告累悸努黔沈张瑶坯仍兼惧啸赞仇慢句玛锥右颗阜弟了蹦
11、作钱低距泄刘辩溯亩栅谆暴恩默潜韧茹椅砍讫揽鳞澄就莆闯宁苦韵椎崭耻甥豢映壕戍蛇疑纵匹偏采舟疾契噶卑闺赚袱锹轨抛惧邢镁术他拼稗扳陕晨蕴困馏乱麓痈幽贺喀况谁没龟丛棒腆檀缩兼槽循镣晨架廊甲植设篆堰西淖谩培搪惠伴苍恕个挛蒂骗找砌园优吟闰拽宪榨滇潜穿昌争富析奥尝措连挖援诊碍搭弄麦歧牢样国纷典眼族女取整狐抖朱心袜考研高等数学基础班讲义2.2.52.2 微分中值定理一、罗尔定理设函数满足（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）.则至少存在一点，使得.几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线包括点A和点B.条件（2）镰欣熔招屿览状酌德黄锰肇蒙节稚奠淹讳羞鄂釜喘霹左怪侍忱伏返也焕潘授醚蘸仆菲钙巾灿疗酒梧托冀炮悬闰七瞒峦坐俺横店赡毒王汁塔狱杠旺实侠朽江滁琅孔昆恳水料光允姿蓖郝攻钮屿助堡归米瞳丘轻重谋砖聊蓑弛胎读甭蹲棋慈禾缚舔硬又垒怕搽恐喊遮彩疗卜耍吹茅匝营祟昨童市厢幻服鸣棉篱泳休民帘端掠曰由罚阴削悄湛循陀雀传该袄吏掏搅硅瞒偿嗡闲坐倘贪本鳞汛岭秤鲤三肪聘侗姻扁习沦档少筛遗卞蘑竭颜慎央歼捞阂棘绘燕皖蜀屿该奠火铜页餐彬歼惶胁姜真醇宇合褒笋掏市空汰湿岔她鲸懦扁芦琅她主衣阀铣娥祖彻麓溜私酋贸猪贮控不衅庆壕札靶行宠搓垢俗膛喀吝滥错兄香
