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1、数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断或证明方法：定义法(an _an =d(d为常数)或 an-an =an -an(n 2) 0 )4.1例：已知数列 an湎足a!=4,an=4522),令。=anan -2(1)求证：数列 bn是等差数列(2)求数列 a。的通项公式2、等差数列的通项：an =a1+(n1)d 或 an =am+(nm)d。如(1)等差数列4中，a1o=3。，a2。=50,则通项an=；(2)首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是3、等差数列的前 n和：8n = n(a1 +an), &=2+他二1)d。221,八.*、3-15
2、如(1)数列an中，an=an+(n 之2,” N ) ,an =万，前 n 项和Sn =,则 a= 一 n=_(3.(1)答：a1=3, n=10)；(2)当m+n = p+q时，则有am+an=ap+aq,特别地，当 m + n = 2p时，则有 am an = 2ap.如(1)等差数列an中，Sn =18,an+an+anq =3 =1 ,则 n =如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。如(1)在等差数列中，&1 = 22,则a6 =二、等比数列的有关概念：1、等比数列的判断方法：定义法an二=q(q为常数)，其中q #0, an 0或 (n之2)。 anan
3、an(1)数歹U an中，Sn =4 ana+1 ( n 22)且 a1=1,若 bn = an书2an ,求证：数歹U bn 是等比数列。2、等比数列的通项：an =a1qn或an =amqnjm。如等比数列an中，a+an=66,a?an口 =128 ,前 n项和 Sn =126,求 n和 q.3、等比数列的前 n 和：当 q=1 时，Sn =na1；当 q#1 时，Sn = a1(1 q ) = a1 -anq 。1 q q 1 q q如(1)等比数列中，q = 2, Sd9=77,求23+26+ +a994、等比中项：若a, A,b成等比数列，那么 A叫做a与b的等比中项。5.等比数列
4、的性质：(1)当m +n = p +q时，则有 amLan =apjaq，特别地，当 m + n = 2p时，则有 am Lan = ap .如(1)在等比数列an中，a3+a8 =124,a4a7 =512 ,公比q是整数，则a10(2)各项均为正数的等比数列an中，若a5 a6=9,则Og 3 a 0 3 g +娜3 0a =如(1 )已知a 0且a。1 ,设数列xn满足10 gx科=什lo g2时，an =一,求通项公式an。 2an1五、代值找规律1 1 例 已知数列an中，其中an=,4= ,则a8 =1-an2六、待定系数法例 已知数列an满足an书=2an +1,且a1 =1 ,
5、求数列aj的通项公式。例 已知数列an满足an书=3an+1,且a1=1,求数列an的通项公式。【反思归纳】递推关系形如“an+ = pan +q”适用于待定系数法或特征根法：令an书九=p(an _h)； 在前书=pan +q 中令 an噌=an =x= x = q,二 an由一 x = p(an - x);1 - p由 an 由=pan +q得 an = Pan+4，, Hn 由 一Hn = Pn -Hn四、数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：Sn = (& +an) = na + n(n1) d2 23 a(q=1)2、等比数列求和公式：Sn =g(1
6、qn) _ a 一anq/ 一、H一(q 厂 1)1 1-q 1-q例：已知 an是等差数列，bb是正项等比数列，且 a1 =b =2a =14h =a3.(1)求an,bb的通项公式(2)若数列cn =an +bn,求数列cn的前n项和Tn二、错位相减法求和这种方法主要用于求数列 的前n项和，其中 、 分别是等差数列和等比数列.求 和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。例：1.已知等差数列。的前n项和满足S=0, S5=- 5(1)求的通项公式(2)求数列 (2-) 2n的前n项和.nln - 1)解：(
7、1)设的公差为d,则1+ 小 ,3%+3 扣 0由已知可得, i解得31=1, 1.故的通项公式为2- n.5a1+10d=- 5L 1(2)令(2-) 2?2n.令 12+11?21+2?22+ (nT) ?2n 1?2n有 21?22+2?23+ -+ (n-1) ?2?21.两式相减得：21+22+ +2nn?21=2l - 2) n?21=-2+ (1 n) ?211-2贝U 2+ (n-1) ?212.已知数列的前n项和为，a1=1, 1=21 (nCN*).(1)求数列的通项公式；2n+l(2)求数列的前n项和.an解：(1) .1=21 (nC N), 2-1+1 (n2),两式
8、相减得：1=3 (n2),由 1=21 得：a2=2a1+1=3,a2=3a1 满足上式，.数列。是首项为1、公比为3的等比数列，. 3n-1;2n+l 2n+l2n-Jn+13仇一工矿-1，3 3 322n- 12n+l3L1311 两式相减得:2 z 1 13+2 (且r +一33 323n 1)2n+l2n+4=4 3n3n63n-三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列， 也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可11例7求数列的前n项和：1+1,+4,)+ 7, ；解：设Sna1二(1 1)(4)(Sn二 (11 aa1+
9、*+2a1-2 a1n -1a= 1 时,当a#1时,7)(占 3n-2)(1 4 7 3n _ 2)a=n +(3n-1)n = (3n+1)n1-1a1an (3n - 1)n a - a十=1 .na -1.(3n-1)n2例1.已知an是等比数列，数列满足a1=3,&=24，满足bn满足 b =1,b4 =七且an +bn是等比数列。(1)求数列an和bn通项公式(2)求数列bn的前n项和五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合， 使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:an1n(n 1)=11n n 1an= -(- n(n k) k nan=1n(n -1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)例1：已知Sn为数列 %的前n项和，且满足Sn =亡网2（1）求数列an的通项(2)右 bn =,求数列 bn的前n项和Tnan *an 1例2;（15年全国卷）Sn为数列 an的前n项和，已知an 0,2 一一 一an 2an = 4Sn 3求an的通项公式、一 1（2）设bn=，求数列 bn的刖n项和anan 1
