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1、 2005年已知二次函数yax2bxc. （）若a2，c3，且二次函数的图象经过点（1，2），求b的值（）若a2，bc2，bc，且二次函数的图象经过点（p，2），求证：b0；（）若abc0，abc，且二次函数的图象经过点（q，a），试问自变量xq4时，二次函数yax2bxc所对应的函数值y是否大于0？并证明你的结论解：当时，二次函数为，由过点（）得 即 是方程的根 由yax2bxc过点（）得 即 是方程的根 abc0，abc 由得 自变量xq4时，二次函数yax2bxc所对应的函数值 当时 当时 当自变量xq4时，二次函数yax2bxc所对应的函数值y大于02006年天津市初中毕业生学业考试试
2、卷已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为(2,4) （）试用含a的代数式分别表示b，c；（）若直线ykx4（k0）与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F，且，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；（）在（）的条件下，若线段EF的长m满足，试确定a的取值范围。解：（I）由已知，可设抛物线的顶点式为即2分（II）设E（）、F（）由方程组消去y，得（*）又。即由，知x1与x2同号，x2=4x15分由、，得x1=1，x2=4；x1=1，x2=4将上面数值代入，得解得k=a或k=9a经验证，方程（*）的判别式0成立。k=a或k=9a7分（III）由勾股定理，得而由，得，即8分由已知，即或当k=a时，有
3、1a2或2a1当k=9a时，有192或29a1即或10分2007年天津市初中毕业生学业考试试卷已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，。（1）试证明； （2）证明；（3）对于二次函数，若自变量取值为，其对应的函数值为，则当时，试比较与的大小。解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即 是该方程的两个实数根 ，（1分）而 （2分）（2）（3分） （4分）于是，即 （5分）（3）当时，有 ， 又 ， 于是 （9分）由于， ，即 当时，有（10分） 利用图象法 函数与直线的两交点为、 接下来证明抛物线的对称轴 时,抛物线在直线的上方，即 2008年天津市初中毕业生学业考试试卷已知抛物线，（）
4、若，求该抛物线与轴公共点的坐标；（）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；（）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由解（）当，时，抛物线为，方程的两个根为， 该抛物线与轴公共点的坐标是和 2分（）当时，抛物线为，且与轴有公共点对于方程，判别式0，有 3分当时，由方程，解得此时抛物线为与轴只有一个公共点 4分当时， 时，时，由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有 即解得综上，或 6分（）对于二次函数，由已知时，；时，又，于是而，即 7分关于的一元二次方程的判别式， x抛物线与轴有两个公共点
5、，顶点在轴下方8分又该抛物线的对称轴，由，得，又由已知时，；时，观察图象，可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点 10分2009年天津市初中毕业生学业考试试卷已知函数为方程两个根,点在函数的图象上（）若，求函数的解析式；（）在（）的条件下,若函数与的图象的两个交点为,当的面积为时，求的值；（）若，当时，试确定三者之间的大小关系，并说明理由 解：解（），. 将分别代入，得，解得.函数的解析式为 （）由已知，得，设的高为，即.根据题意，由，得.当时，解得；当时，解得.的值为.6分（）由已知，得.，化简得.，得，.有.又，当时，；当时，；当时，.2010年天津市初中毕业生学业考试试卷在平面直角坐标系
6、中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.（）若，求此时抛物线顶点的坐标；（）将（）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足SBCE = SABC，求此时直线的解析式；（）将（）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足SBCE = 2SAOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.解：（）当，时，抛物线的解析式为，即. 抛物线顶点的坐标为（1，4） （）将（）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有， 抛物线的解析式为（） 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为 方程的两个根为， 此时，抛物线与轴的交点为，EyxFBDAOC如图，过点作
7、EFCB与轴交于点，连接，则SBCE = SBCF SBCE = SABC， SBCF = SABC 设对称轴与轴交于点，则由EFCB，得 RtEDFRtCOB有 结合题意，解得 点，设直线的解析式为，则 解得 直线的解析式为. （）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）则抛物线的解析式为，此时，抛物线与轴的交点为，与轴的交点为，.（）过点作EFCB与轴交于点，连接，则SBCE = SBCF.由SBCE = 2SAOC， SBCF = 2SAOC. 得.设该抛物线的对称轴与轴交于点.则 .于是，由RtEDFRtCOB，有 ，即结合题意，解得 点在直线上，有 由，结合题意，解得有， 抛物线的解析式为
8、 2011年天津已知抛物线：点F(1，1) () 求抛物线的顶点坐标； () 若抛物线与y轴的交点为A连接AF，并延长交抛物线于点B，求证： 抛物线上任意一点P（）)（）连接PF并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；() 将抛物线作适当的平移得抛物线：，若时恒成立，求m的最大值解 (I)，抛物线的顶点坐标为()(II)根据题意，可得点A(0，1)，F(1，1)ABx轴得AF=BF=1，成立理由如下：如图，过点P（）作PMAB于点M，则FM=，PM=（）RtPMF中，有勾股定理，得又点P（）在抛物线上，得，即即过点Q（）作QNB，与AB的延长线交于点N，同理可得图文PMF=QNF=90，MFP=NFQ，PMFQNF有这里，即 () 令，设其图象与抛物线交点的横坐标为，且，抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的，观察图象随着抛物线向右不断平移，的值不断增大，当满足，恒成立时，m的最大值在处取得。可得当时所对应的即为m的最大值于是，将带入，有解得或（舍）此时，得解得，m的最大值为8.
