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1、极化恒等式、极化恒等式极化恒等式：a - b二+ b)2-(a - b)2极化恒等式的几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角1 -4线”与“差对角线”平方差的-，即：a - b二-I AD I2I BC I2 =1 AM I2 -1 BM I2，如图：证明-I AD 1=1 a + b InI AD |2 = (a + b)2 =I a I2 +2ab+1 b I2I BC I=I a -b InI BC I2 = (a -b)2 =I a I2 -2ab+1 b I2 以上两式相减得： * =*4a - b = (a + b)2 - (a -b)21 a -b
2、 二一(a + b)2 - (a -b)2例题精析1、（2014，浙江高考理）在三角形ABC中，M是BC的中点，AM=3, BC=10，则AB - AC =解析如图所示，由极化恒等式易得：ABAC = AM BM = 32 52 =162、（2016,长春二模）已知AB为圆x2 + y2 = 1的一条直径，点P为直线x y + 2 = 0上任意一点，则PA- PB的最小值是解析如图所示，由极化恒等式易知，当0P垂直直线时，PA- PB有最小值，即：3、（2013,湖州二模）正方体的棱长为2, MN是它的内切球的一条弦，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM - PN的取值范围是解析
3、当弦MN的长度最大时，即MN为圆的直径，由极化恒等式得：当点P在A, C，A1，C1任一点时有最大值，当点P在圆与正方体的切点时有最小值，即:(PM -PN)= CO2 MO2 =朽2 12 = 2max1(PM - PN)= MO2 MO2 = 12 12 = 0，故 PM - PN e 0,2min4、（2014,重庆模拟）正AABC边长等于%/3，点P在其外接圆上运动，则AP- PB的取值范围是解析如图所示，取AB中点D，当点P在C点处时，AP - PB有最大值，当点P在点C的对称点上时，有33 一 1一J31最小值。由极化恒等式易得：（PAPB） = U）2（ ）2 = ，（PA PB
4、）（开）2（ ）2 =77， max 222min 2221 33 1PA PB e - , AP PB = -PA PB e - ,2 22 2兀 ph 5、（2016山西太原一模）在锐角三角形ABC中，已知B = -,l AB - AC = 2,则AB - AC的取值范围是解析由题意知，知一边长度和一个角度，可得锐角三角形的两个临界情况，当 ZA = 90o 时，由极化恒等式得：AB AC = AD - BD =12 -12 = ， 当 ZC = 90 时，由极化恒等式得：AB AC = AD - BD；132 -12 =12， 故AB - Ac的取值范围是（0，12）在平面上任意一点，则
5、（pA十pB） . pc的最小值是解析如图所示，取OC的中点D,连接PD,因为O为AB中点，所以（pA十pB） pc _ 2po PC 由极化恒等式得：pO - pc _ 1（2 pd）2 - oc2 _ pD2 -丄因此当p为oc中点时，即时,44I PD 1_ 0（pa+pB）. pc取得最小值-2。7、（2016，温州一模）已知正方形ABCD的面积为2,点P在边AB上，则帛 缶的最大值是pd pc1 - 2 2 1解析如图所示，取CD的中点E,连结PE,由极化恒等式可得：pD PC _ （2 pE ）2 - CD _ PE -，5 所以当P与A （B）重合时，1 PE = 2最大，从而（pD.pc） _ 2 maxDE
