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1、第二章 电阻电路分析的基本方法本章以直流电路为研究对象，讨论电路的几种普遍的分析、计算方法。包括等效变换、 支路电流法、结点电位法、叠加原理和戴维南定理等。这些方法可统称为网络方程法；它是 以电路元件的伏安关系和基尔霍夫定律为基础的，选择适当的未知变量，建立一组独立的网 络方程，并求解方程组；最后得出所需要的支路电流或支路电压或其他变量。这些电阻电路的分析计算方法只要稍加扩展，即可用于交流电路的分析计算，所以本章 是分析、计算电路的基础。2-1 等效电阻和等效二端网络(b) 图2-1 二端网络通常，工程中所接触的电路形状复杂如网，故电路又称为网络。(a)如果电路只有一个输入端口或输出端口，则这
2、个电路称为单口网络或二端网络。若二 端网络内部含有电源，则称为有源二端网络。若内部不含电源，则称为无源二端网络。如图 21 (a)所示为一个有源二端网络，a、b为此网络的输出端点。图21 (b)所示为一个 无源二端网络。无源二端网络是由电阻元件组成的。在它内部，电阻的连接可能很复杂，但对外部电 路来说，可以用一个等效电阻来代替它。这个电阻就称为这一无源二端网络的等效电阻。这 里，“等效”是对外部电路来说。如图21 (b)中虚线框内的四个电阻，可以用一个等效 电阻来代替它们，只要端口上的U、I不变，则对虚线以外的电路来说是等效的，因为它不 影响虚线以外的任何电路。但对虚线框内部，也就是说对无源二
3、端网络内部并不等效。电路 原是四个电阻组成，现只有一个电阻，电路的结构、参数完全不同，不可能等效。所以说， 等效是一个相对的概念。一、电阻的串联与分压(一)串联电阻的等效化简所谓串联就是两个或多个元件首尾相联接流过同一电流。如图22 (a)所示为两个电 阻叫、R2串联，可以用等效电阻R代替它们，如图2 2 (b)所示，只要R满足如下关系 即可：R = R1+R2(21)若由n个电阻串联，则其等效电阻为叮Riu T + U 1 R2 T2 RR = R1 + r2+ + R n= i=1 1(22)上式表明，串联电阻的等效电阻值总是大 于其中任一个电阻阻值的。(二)分压公式(a)(b)图2-2
4、电阻的串联在电工技术中常常遇到把总电压分为若干个分电压的问题，方法之一是用电阻来串联。 在图22 (a)中，根据KVL有U = U1 + U2(23)串联电路中，电流相等。所以，两个电阻上的电压q和u2分别为RU = R -1 = U 11R + R12RU = R -1 = U 24)22R + R12从式24可知，分电压U和U2与电阻值比、R2成正比，阻值较大的电阻承受较高 的电压。串联电阻的分压作用在电工技术中应用很广泛。例如电子线路中的信号分压；电压表中用串联电阻来扩大量程；直流电动机用串联电阻减压起动；等等。例2.1.1已知有一表头的内阻Rg=lkQ，允许通过的最大电流(指针偏至满刻
5、度)I = 0.1mA。问：(1)直接用这个表头可测量多大的电压？ (2)欲使量程扩大为10V，则应串联 多大的电阻？解：电压表的使用方法是并联于被测电路U上的(见 x图2 3)，表头满刻度时，表头两端的电压为I R。在本 例中，g gU = I R = 0.1X10 3X1X10 3=0.1V欲使量程扩大为g10v，可根据串联电阻分压原理，串 入电阻Rf，并使Rf两端的电压为Uf = 100.1 = 9.9 V 9.9匚 R =二 x 1 = 99kQ由分压公式得：Rf= Ug g 0.1由此可知，电压表的量程愈大，则分压电阻Rf也愈大。电压表的等效内电阻是很大的。 二、电阻的并联与分流几个
6、元件的首端、尾端分别连在一起承受同一电压，称为并联。 (一)并联电阻的等效化简如图24 (a)中，比、R2并联，都处于同一电压U的作用下，这时可以用等效电阻R 代替它们，如图24 (b)所示，只要R满足下列关系即可：R - R12-R + R12111= + -25)26)R R R12若n个电阻并联，则有1 1 11= + +RRRR1 2 n面公式表明，并联电阻的等效电阻值总是小于其中任一个电阻阻值的。二)分流公式1RRR+ R1112_ UR -1_ IR12 R2R2R1+ R2(27)I(a)(b)图2-4电阻的并联根据欧姆定律可得出总电流与各支路电流的关系。在图24 (a)所示的电
7、路中,式 27 是两个电阻并联时的分流公式，它 表明通过并联电阻的电流大小与电阻值成反比， 并联电阻中阻值愈小的将从总电流中分得愈多 的电流。在实际中，同一电压等级的用电器是并联在该电压的电源上使用的。在电源电压不变的 条件下，并联的负载愈多，即负载愈大，则电路的等效电阻越小，电路中总电流和总功率也 就越大。相反，电阻增大，则负载减小。有时为了某种需要，可将电路中的某一段与电阻或变阻器并联，以起分流或调节电流的Rg；图2-5 电流表扩大量程作用。例 2.1.2 用例 2.1.1 的表头(I =0.1mA, R =lkQ )制 成毫安表，欲使量程扩大为100mA，问应并联阻值为多大 的电阻?解：
8、要扩大表头测量电流的量程，须在表头上并联相应 的分流电阻，如图25所示。图中I为被测电流，分流电 阻的电流为If。由于并联支路承受同一电压U,故有I R = If Rf g g f fIf = IIg= 1000.1=99.9mA0.1 x 103=1.001 沁 1Q欲使电流表量程为100mA，应并联的电阻阻值Rf为R f =99.9由此可知，电流表量程愈大,并联的分流电阻则愈小。因此，电流表的等效内阻是很小 的。所以测量电流时，必须把电流表串联接在电路中，如果错接成并联，则电流表里会通过 很大的电流而致使电流表烧坏。三、电阻的混联 一个电路中的电阻，既有串联又有并联，这样的联接方式称为混联
9、。实际上，不管混联 电路有多么复杂，都可以由“远”而“近”地用串、并联等效电阻公式加以简化，最后简化 为一个等效电阻，即从远离所求端开始等效；而计算各支路电流、电压，又应从前到后，可视为一张图先卷起来而后又摊开。例2.1.3计算图26a所示电阻电路的等效电阻R,并求电流I和导(b)R342Q(a)R图2-6 例2.1.3的图解：(1)按电路结构，根据电阻串联与并联的特征，看清哪些电阻是串联的，哪些是并 联的。在图26 (a)中，R1与R2并联，得R12=1QR3与R4并联，得R34=2Q因而简化为图26 (b)所示的电路。在这图中，R34与R6串联，而后再与R5并联，3465得R = 2Q,再
10、简化为图26 (c)所示的电路。由此最后简化为图26 (d)所示的电 3456路，等效电阻二 1.50(1 + 2) x 3R = 1 + 2 + 3于是应用分流公式可得I7=I12= I-I7 = 2-1=1A(2)由图2 6 (d)得出U = 3 = 2 AI= R 1.5(3)式(24)和式(27)分别为两个电阻串联的分压公式和两个电阻并联的分流公式。这两个公式在分析与计算电路时很有用处。在图26 (c)中，R + R 2+11I =346 I =X1 = A5 R + R + R 12 2+1+ 6334652-2 支路电流法前面已经说过，凡是能够用电阻串、并联等效变换公式将电路化简、
11、并且用欧姆定律求 解的电路都是简单电路；反之，则为复杂电路。复杂电路的分析与计算的主要内容是：给定 网络的结构、电源及元件的参数，要求计算出网络里各个支路的电流及电压、还有时要计算 电源或电阻元件的功率。s图2-7 支路电流法+U不管实际电路如何复杂，它都是由节点和回路组成的，它的各支路电流、各部份电压之 间必定遵循基尔霍夫的两个定律。而对于一段线性电阻电路来说，其电流和端电压之间必定 符合欧姆定律。所以我们分析与计算线性网络的理 论基础和基本工具是基尔霍夫定律和欧姆定律。支路电流法是以支路电流为未知量，根据 KCL 和KVL列出电路中结点电流方程及回路电压方程， 然后联立求解，计算出各支路电
12、流。下面就以图27所示电路为例，说明支路电流 法的要点。然后，再通过例题的演算，总结出支路 电流法的解题步骤。一、写 KCL、KVL 方程，联立求解图27所示电路不属于电阻的串、并联电路，不可能用串、并联等效化简的方法求解。 这个复杂电路有两个结点a和b，三条支路，两个网孔。为应用KCL和KVL，需先假定所求量I、I0和U的参考方向，并标注于图中。然后， 列结点的KCL方程：结点 a I0= IS+ I结点 b IS+ I= I0注意到这两个结点电流方程是完全一样的，即其中只有一个方程是独立的，一般地说，对具 有n个结点的电路，应用KCL电流定律只能得到(n-1)个独立方程。列KVL方程：绕行
13、方向取顺时针方向，并于图中标出。aR0bI a回路0sI - R - U = 000a US RbROa 回路事实上，在图中还有另外一个回路aUsRblsa，取顺时针绕行方向，其KVL方程为-IR-U = USS但是，上述三个回路电压方程只有两个是独立的，第三个方程可以由前二个方程相加得 到，是不独立的，所以也无需列出。一般地说，对具有n个结点b条支路的电路，应用KVL 电压定律可以得到b- (n-1)个独立方程。二、解题步骤例 2. 2. 1 电路如图 2 8 所示。电动势 E=140V、E2=90V，电阻 R=20Q、R2=5Q、R3=6Q。要求计算R3所在支路电压U3。解：按照下列步骤求
14、解1. 首先要审题，就是看清电路结构、已知条件 及所求量。本题是已知电源电动势及所有电阻阻值，求解的 是支路电压 U3 及功率。为此，必须先要计算出各支 路电流。2. 定出所求各量的参考方向，并于图中标出， 注意u3与I3取关联正方向。3. 写KCL、KVL独立方程。R.b图2-8 支路电流法举例+E2E1IiR a 1两个结点，可列出一个独立的KCL方程结点 aI3=I1+I2按照网孔列KVL方程，均取顺时针方向为绕行方向。网孔abE1a网孔aE2ba-I R -I R = -E22332-5I -6I = -90234.联立求解，可得I=4A、I2=6A、I3=10A。三个电流均为正值，表明电流的实际方向 与图示正方向相同。本题要求的 U3=I3R3=10X6=60V。2-3 结点电压法图29所示的电路是具有两个结点a和b、四条支路的复杂电路，这类少结点多支路 的电路特别适合于采用结点电压法。结点间的电压U称为结点电压，现结合图2 9所示电 路讨论应用结点电压法的一般步骤：1.选一个结点作为参考结点，则其余结点对参考结点的电压就是所需求的未知量。通常都假定指向参考点的方向为各结点电压参考方向，在图中，其参考方向由a指向bo+图2-9具有两个结点的复杂电路UR42.标出各支路电流的参考方向，根据基尔霍 夫电压定律参照图1 36b 或欧姆定律用相应的结 点电
