考研数学公式大全(考研必备)

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1、高等数学公式篇平方关系: sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2() cot2()+1=csc2() 积的关系: sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系: tancot=1 sincsc=1 cossec=1 ,两角和与差的三角函数: cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan

2、) 辅助角公式: Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t),其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t),tant=A/B 倍角公式: sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() tan(2)=2tan/1-tan2() 半角公式: sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+

3、cos)=(1-cos)/sin 降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 万能公式: sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 积化和差公式: sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sinsin=-(1/2)cos(+)-cos

4、(-) 和差化积公式: sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 部分高等内容 编辑本段 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得): sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(

5、ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数,ez=exp(z)1z/1!z2/2!z3/3!z4/4!zn/n! 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解: 对于微分方程组 y=-y;y=y,有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。 补充:由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数,其拥有很多与三角函数的类似的性质,二者相映成趣。 导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:一些初等函数: 两个重要极限:三角函数公式:和差角公式: 和差化积公式:倍角公式:半角公式:正弦定理: 余弦定理: 反三角函数性质:高阶导数公式莱布尼兹

6、(Leibniz)公式:中值定理与导数应用:曲率:定积分的近似计算:定积分应用相关公式:空间解析几何和向量代数:多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用:方向导数与梯度:多元函数的极值及其求法:重积分及其应用:柱面坐标和球面坐标:曲线积分:高斯公式:曲面积分斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系:常数项级数:级数审敛法:绝对收敛与条件收敛:幂级数:函数展开成幂级数:一些函数展开成幂级数:欧拉公式:三角级数:傅立叶级数:周期为的周期函数的傅立叶级数:微分方程的相关概念:一阶线性微分方程:全微分方程:二阶微分方程:二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复

7、根二阶常系数非齐次线性微分方程1、行列式1. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;2. 代数余子式的性质:、和的大小无关;、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;3. 代数余子式和余子式的关系:4. 设行列式:将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;将主副角线翻转后,所得行列式为,则;5. 行列式的重要公式:、主对角行列式:主对角元素的乘积;、副对角行列式:副对角元素的乘积;、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;、和:副对角元素

8、的乘积;、拉普拉斯展开式:、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;、特征值;6. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;7. 证明的方法:、;、反证法;、构造齐次方程组,证明其有非零解;、利用秩,证明;、证明0是其特征值;2、矩阵1. 是阶可逆矩阵:(是非奇异矩阵);(是满秩矩阵)的行(列)向量组线性无关;齐次方程组有非零解;,总有唯一解;与等价;可表示成若干个初等矩阵的乘积;的特征值全不为0;是正定矩阵;的行(列)向量组是的一组基;是中某两组基的过渡矩阵;2. 对于阶矩阵: 无条件恒成立;3.4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其

9、中均、可逆:若,则:、;、;、;(主对角分块)、;(副对角分块)、;(拉普拉斯)、;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵、,若;2. 行最简形矩阵:、只能通过初等行变换获得;、每行首个非0元素必须为1;、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)、 若,则可逆,且;、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,

10、且;4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素; 、对调两行或两列,符号,且,例如:;、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;、倍加某行或某列,符号,且,如:;5. 矩阵秩的基本性质:、;、;、若,则;、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、;()、;()、;()、如果是矩阵,是矩阵,且,则:()、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);、若、均为阶方阵,则;6. 三种特殊矩阵的方幂:、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;、型如的

11、矩阵:利用二项展开式;二项展开式:;注:、展开后有项;、组合的性质:;、利用特征值和相似对角化:7. 伴随矩阵:、伴随矩阵的秩:;、伴随矩阵的特征值:;、8. 关于矩阵秩的描述:、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)、,中有阶子式全部为0;、,中有阶子式不为0;9. 线性方程组:,其中为矩阵,则:、与方程的个数相同,即方程组有个方程;、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;10. 线性方程组的求解:、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);、齐次解为对应齐次方程组的解;、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:、;、(向量方程,为矩阵,

12、个方程,个未知数)、(全部按列分块,其中);、(线性表出)、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1. 个维列向量所组成的向量组:构成矩阵;个维行向量所组成的向量组:构成矩阵;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. 、向量组的线性相关、无关有、无非零解;(齐次线性方程组)、向量的线性表出是否有解;(线性方程组)、向量组的相互线性表示是否有解;(矩阵方程)3. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组和同解;(例14)4. ;(例15)5. 维向量线性相关的几何意义:、线性相关;、线性相关坐标成比例或共线(平行);、线性相关共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若线性相关,则必线性相关;若线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组:若线性无关,则也线性无关;反之若线性相关,则也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示,且线性无关,则(二版定理7);向量组能由向量组线性表示,则;(定理3)向量组能由向量组线性表示有解;(定理2)向量组能由向量组等价(定理2推论)8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵,使;、矩阵行等价:(左乘,可逆)与同解、矩阵

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