《第三章 导数的应用(下)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章 导数的应用(下)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、四、函数的极值定义2设函数f (x)在x的某邻域内有定义，且在此邻域内的任意一点x (x丰x )，均有f (x) f (x )，则称f (x )是函数f (x)的一0 0 0个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点x，0称为函数的极值点。特别注意 ：13(1) 函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值，其中有的极大值 可能比极小值还小如图3-2所示： f(x ), f(x ), f(x )图 3-2均是f (x)的极小值；f (x ), f (x ), f (x )均 024是f (x)的极大值显然，极小值f (x )大于极大值 f(x2)。(2) 函数的极值概念
2、是局部性的，它们与定义域上的最大值与最小值统称为f (x)的最值)函数的最大值，最小值(以后把函数f (x)在其不同极值 f (x )是相对于点 x 附近的一个局00部范围来说的，而最大值与最小值是相对于f (x)的整个定义域而言的.从图3-2可以看出，在函数取得极值处，曲线的切线是水平的，即极值点x0处，必有f(x ) = 0。0为了判断函数在可能极值点处是否取得极值，有如下定理.定理3 (极值的第一充分条件)设f (x)在点x连续，在点x的某一空心邻 00域内可导.当x由小增大经过x时，如果0(1) f(x)由负变正，那么f (x)在点x取得极小值；(2) f(x)由正变负，那么f (x)
3、在点x取得极大值；(3) 广(x)不变号，那么x不是极值点。定理4 (极值的第二充分条件)设f (x)在点x处具有二阶导数且f(x )二 0 , f(x )丰 0。 00(1) 如果f(x ) 0，则f (x)在点x取得极小值；00(2) 如果f (x ) 0，在(1,3)内 f(x) 0，所以f (-一)=为极小值。27272187五、最大值与最小值企业常考虑用最低的成本获取最高的利润，在设计易拉罐时，大饮料公司除 考虑外包装的美观之外，还必须考虑在容积一定(一般为365ml)的情况下，所 用材料最少(表面积最小)，焊接或加工制作费最低等。在实际问题中，常常遇到求“产量最大”、“用料最省”、
4、“成本最低”和“效率最高”等问题，这类问题 在数学上就是求函数的最大值和最小值问题，这是数学上一类常见的优化问题。例9有一块宽2a的长方形铁片，将它的两个边缘向上折起成一开口水槽，使其横截面为一矩形，矩形高为x，问x取何值时，水槽的横截面最大(图3-3).解 设水槽横截面积为S，则S是x的函数且S(x) = x(2a - 2x),0 x a,因为S(x) = 2a - 4x，令S(x) = 0，得唯一驻点当 0 x 0，S(x)单调递增;2当 a x a 时，S r(x) 0，S (x)单调递减.2水槽的截面积最大所以S(a)是函数S(x)的最大值.即当两边缘各折起a时， 22例 10 某工厂
5、生产某种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位产品，成 本增加100元，已知总收入R是年产量Q的函数I400Q - 0.5Q20 Q 400问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？解 根据题意可得总成本函数为C( Q)= 200-00Q0从而得总利润函数为I 300Q - 0.5Q2 - 20000 0 Q 400300 - Q 0 Q 400令L(Q) = 0，得驻点Q=300,且L(300) = -1 0，则曲线y = f (x)在(a,b)内是凹的;(2)若在(a,b)内f(x) 0时，y 0，故曲线y = Inx在(0,+s)内是凸的.2、拐点及其求法定义4连续曲线
6、y = f (x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。若点(x ,f (x )为曲线y = f (x)的一个拐点，则必有f (x ) = 0或厂(x )不存0 0 0 0在，从而可得拐点求法如下：(1) 确定函数 f(x) 的定义域；(2) 求出f(x)，找出使f(x) = 0和f(x)不存在的x值；(3) 这些点将定义域分成若干子区间，在每个子区间上考察f (x)的符号;(4) 若f(x)在某点x两侧近旁异号，则(x , f (x )是曲线y = f (x)的拐i i i点，否则不是例12求曲线y二x4 -2x3 +1的凹凸区间及拐点.解 函数的定义域为(一也+8)，而 y二 4x3 - 6x2, y = 12x2 -12x = 12x(x一 1),令y = 0 ,得x = 0、x = 1。0和1将定义域分成三个子区间，列表讨论如下(表12中“ c ”表示曲线是凸的，“ o ”表示曲线是凹的)：x(-卩0)0(0,1)1(1,+x)ff y+00+y拐点(0，1)c拐点(1, 0)o由上表可知，曲线在区间(0,1 )内是凸的，在区间(-卩0)和(1,+)内是凹 的；曲线的拐点为点(0,1)和点(1,0)。
